Fonctions, Cours 6

Nos premières équations

Dans cette vidéo de 12 minutes environ on définit ce qu’est une équation et on introduit le vocabulaire utilisé dans tout le chapitre consacré à la résolution des équations. Complétez les pages 56-58 du fascicule!

Equations équivalentes

Dans la deuxième section de ce chapitre on définit ce que sont des équations équivalentes et on utilise les opérations sur les fonctions pour transformer des équations. Ce film dure 8 minutes.

Résoudre une équation

On termine la section 2 avec des exemples sous forme graphique et des résolutions algébriques. Il est important d’avoir toujours les deux mondes à l’esprit pour ne pas laisser passer des erreurs d’interprétation! Ce film dure 7 minutes et vous permettra de compléter les pages 60 et 61.

Equations polynomiales

Le petit film suivant dure 8 minutes et vous aidera à compléter les pages 63 et 64 de la Section 4 de ce chapitre. Il concerne le degré d’une équation polynomiale et l’ensemble de définition d’une équation. Avant de regarder le film, essayez vous-mêmes de résoudre les deux équations proposées dans les exemples 4.2 et 4.4! Revoyez aussi le film de la semaine passée sur les opérations de fonctions au cas où ce serait nécessaire.

Equations affines

Une vidéo de 11 minutes pour la Section 5 sur les équations affines. On y apprend une méthode performante qui permet de résoudre toutes les équations affines.

D’autres équations

On termine ce chapitre avec de nombreux exemples. Dans ce film de 10 minutes on résout trois équations qui s’écartent un peu de la théorie des équations affines, mais pour lesquelles nous avons en fait tous les outils nécessaires en main. Ceci concerne les pages 66 et 67 du fascicule.

Problème et paramètre

On termine le chapitre avec une résolution de problème, car il est important de savoir traduire une information sous forme d’équation(s) et on montre aussi comment résoudre une équation paramétrique, celle où cohabitent une inconnue, qui représente ce que nous souhaitons trouver, et un paramètre – réel – qui varie et en fonction duquel la solution va pouvoir s’exprimer. Cette vidéo dure 9 minutes et clôt ce chapitre. L’équation paramétrique est à recopier sur la page de gauche, page 67.

Serie 23 du 3 mars

Ex. 5, partie 2. On demande de résoudre l’équation x3 -2x2 -5x + 6=0 dans des ensembles de définition proposés. L’idée la plus simple est donc de tester les solutions potentielles et de regarder lesquelles sont des solutions. En classe nous avons aussi vu qu’une fois que l’on trouve une solution, par exemple x=1, cela signifie que l’on peut factoriser le polynôme x3 -2x2 -5x + 6 = (x-1)q(x) q est un polynôme de degré 2. Lequel? Il doit forcément commencer par x2 et terminer par -6, les termes de plus haut et de plus bas degré l’imposent. Il nous manque encore le terme de degré 1, ce sera ax pour un certain nombre réel a. Comme

(x-1)(x2+ax-6) = x3 +(a-1)x2 -(6+a)x + 6

on conclut que a=-1. Ainsi x3 -2x2 -5x + 6 = (x-1)(x2 -x-6) = (x-1)(x+2)(x-3). C’est en effet le polynôme de degré 2 que nous avons déjà rencontré en classe! Les solutions de l’équation x3 -2x2 -5x + 6=0 sur R sont donc S={1, -2, 3}. Il ne reste plus qu’à voir lesquelles se trouvent dans les ensembles de définition proposés.

Ex.8. Pour vérifier si deux équations sont équivalentes je vous propose de les transformer d’abord systématiquement sous la forme h(x) = 0.

Ex. 11. Equations fruitées. Attention au nombre de bananes, le gros régime compte 4 bananes…

Serie 24 du 10 mars

Exercice 3 (c). Pour résoudre une équation paramétrique on ne se laissera pas déconcentrer par la présence d’une lettre, ici m. On utilise donc systématiquement les méthodes du cours pour d’abord réduire l’équation en rédigeant chaque étape soigneusement! On passe ensuite tous les x à gauche et tout le reste à droite. Ici on trouve finalement l’équation -(2m+1) x = 2m+1. Encore une fois je ne veux pas voir uniquement le résultat final dans votre série (ni au test d’ailleurs). Pour résoudre cette équation on a furieusement envie de diviser par 2m+1, ce qui nous amène à discuter deux cas. Le premier quand 2m+1=0, que se passe-t-il? Et le deuxième cas quand 2m+1 est non nul, on peut alors diviser par 2m+1. Quelle est la solution alors? Attention aux signes!

Exercice 5. On étudie ici des fonctions et des équations affines, avec la complication supplémentaire de la présence d’un paramètre. Un paramètre est un nombre réel, il ne faut pas le confondre avec une inconnue! Il s’agit donc de trouver les solutions d’une équation en fonction des valeurs de ce paramètre. Il peut y avoir des valeurs du paramètre pour lesquelles l’équation n’a aucune solution, d’autres pour lesquelles il y en a une infinité.

Dans la partie 7 par exemple on considère les fonctions f(x) = mx-1 et g(x) = x + √ 2. Pour comprendre quand les graphes de ces deux fonctions sont parallèles ou confondus on peut utiliser la notion de pente. Deux droites sont en effet parallèles ou confondues si elles ont la même pente. La pente de la droite donnée par f est égale à m. Pour comprendre quand les deux droites sont confondues il faut penser aussi à l’ordonnée à l’origine. L’ordonnée à l’origine de la droite y = mx-1 vaut -1, ce qui signifie que la droite coupe l’axe vertical des y à la hauteur -1.

Pour savoir quand les droites sont concourantes, il s’agit de trouver quand l’équation mx-1 = x + √ 2 a une solution. Pour résoudre cette équation de manière algébrique on suit pas à pas la méthode du cours. L’équation mx-1 = x + √ 2 est équivalente à l’équation mx-x = 1 + √ 2, autrement dit (m-1)x = 1 + √ 2. Pour résoudre cette équation on aimerait diviser par m-1. Peut-on le faire? Seulement si m-1 ≠ 0. On retrouve cette valeur du paramètre m=1 qui provoque des problèmes! Par contre si m ≠ 1, on peut tranquillement diviser et trouver la solution x= (1 + √ 2)/m-1. Géométriquement cela signifie qu’il n’y a qu’une valeur du paramètre ou les droites sont parallèles ou confondues (d’ailleurs sont-elles parallèles ou confondues?) et pour toutes les autres valeurs les droites se coupent en exactement un point dont l’abscisse est donnée par la solution trouvée ci-dessus.

Exercice 7. Cet exercice concerne l’ensemble de définition d’une équation. Rappelons que l’ensemble de définition d’une équation f(x) = g(x) est l’intersection des ensembles de définition des fonctions f et g. Avant de transformer cette équation pour la résoudre, il faut d’abord déterminer ED. Puis, pour trouver une équation équivalente plus facile à résoudre je propose de passer à gauche tous les termes qui sont ders quotients par x-2 et  droite le terme qui est un quotient par 4x+6.  Pour ensuite résoudre cette équation on prendra garde à travailler dans l’ensemble de définition. L’exemple fait en cours devrait vous aider!

Préparation pour le test 6 (Série 22)

Exercice 9-13. Ce sont des problèmes de test, faites-les soigneusement et vérifiez vos solutions! Prenez le temps de regarder les exercices de test dès que vous êtes prêts et pensez à poser vos questions avant le jour du test!

9. (1) Il s’agit d’une règle de trois. (spoiler: on trouve 20 minutes).

10. On trouve deux solutions, n’oubliez pas que l’un des chapitres de ce cours concerne les racines!

11. Utilisez les règles de commutativité, d’associativité, de distributivité et les identités remarquables pour avancer plus vite et sans faire de fautes d’inattention. Regardez aussi le degré des polynômes pour voir si le résultat final est cohérent avec la donnée (dans la partie (3) par exemple on voit au départ que la solution sera un polynôme de degré 4). Attention: Par convention le degré du polynôme nul vaut -∞, si bien que l’égalité deg(fg) = deg(f) + deg(g) est aussi valide lorsque f=0. En effet on pose -∞ + n = -∞ pour tout entier naturel n.

12. Souvenez-vous de la différence entre racines paires et impaires, relisez la théorie pour comparer vos démonstrations avec celles du cours.

Un autre problème de test. Le 14 septembre 2015 les chercheurs du LIGO annoncent avoir détecté des ondes gravitationnelles produites par la collision, puis la fusion de deux trous noirs, ce qui serait également la première preuve directe de l’existence des trous noirs. Les ondes gravitationnelles qui se propagent perpendiculairement à un cercle de particules déforment celui-ci par un facteur h. Ceci signifie qu’un cercle de diamètre se comprime et s’étire de r • h.

(1) (7 points) Sachant que le diamètre de la Terre est d’environ 13’000 km et qu’on estime que le facteur h = 10-20, calcule la déformation en millimètres que subirait un cercle de particules 13’000 fois plus grand que la Terre. Ecris toutes les étapes de ton raisonnement et de ton calcul en notation scientifique.

(2) (5 points) La masse du soleil est de 1,9984 · 1030 kg. Approxime 1,9984 au centième.

(3) (7 points) Les deux trous noirs, de respectivement 29 et 36 masses solaires, se trouvaient à 1,3 milliard d’années-lumière de la Terre. Lors de la collision, l’équivalent de trois masses solaires est alors converti en ondes gravitationnelles. Sachant que la masse de la Terre est environ un million de fois plus petite que trois masses solaires, calcule la masse de la Terre en kg. Utilise la notation scientifique et l’approximation trouvée en (2) pour les calculs.

Spoiler: (1) 1,69 · 10-6 (2) 2,00 (3) 6,00 · 1024