Fonctions, Cours 7

Les relations

On commence avec une vidéo de 12 minutes sur la définition d’une relation et sa représentation schématique. Complétez les pages 68-70 en regardant le film. Regardez bien les exemples pour voir comment cette notion de relation généralise la notion de fonction.

Représentation graphique

La deuxième vidéo dure aussi 12 minutes et concerne la représentation graphique. Elle vous permettra de compléter les exemples des pages 71 et 72, en terminant au haut de la page 73 (fin de la Section 2).

Composition de relations

Ce film dure un peu plus de 8 minutes et concerne la composition de relations et la réciproque d’une relation (pages 73-75 du fascicule). Les dernières minutes qui concernent l’Exemple 3.5 sont remplacées par le film ci-dessous sur la relation “élever au carré”.

La restriction

Cette vidéo de 7 minutes concerne la restriction d’une relation à un sous-ensemble de son ensemble de départ. Les explications et les exemples sont à copier à la page 74. On termine avec la définition de l’ensemble de définition d’une relation, ce qui éclaire peut-être la notion d’ensemble de définition pour une fonction donnée par une formule.

La relation “élever au carré” et sa réciproque

Ce petit film de 4 minutes vous permettra de compléter l’Exemple 3.5, les graphes des relations et les commentaires qui suivent mieux que la fin du film sur la composition.

La relation inverse d’une fonction

Un film de 10 minutes pour terminer le chapitre. On lit ensemble la preuve d’une partie de la Proposition 3.6 et surtout on résout en détail l’Exemple 37 sur l’inverse d’une fonction affine.

Série 25 du 18 mars

Exercice 1, partie (b). Nous avons vu que l’élément (x, y) n’est pas égal à (y, x) dans le produit cartésien. Il est donc très important de faire la distinction entre les affirmations “x est la valeur absolue de y” et “x est en relation avec sa valeur absolue y“. Dans le premier cas la paire (4, -4) fait partie du graphe de la relation, alors que (-4, 4) fait partie du graphe de la seconde relation. Les deux relations dont nous discutons ici sont en fait réciproque l’une de l’autre, mais certainement pas égales! D’ailleurs l’une est une fonction, l’autre pas. En général je vous recommande de tracer d’abord la graphe de la relation pour visualiser bien la relation est pouvoir répondre plus facilement aux autres questions.

Exercice 8. Pour vérifier qu’une relation est une relation d’équivalence, je ne demande pas de longues explications, mais une phrase qui montre que vous avez compris ce qu’il s’agit de prouver. Pour la relation d’équivalence des fractions par exemple, la réflexivité affirme que toute fraction est équivalente à elle-même. Autrement dit la fraction a/b est équivalente à a/b. Pour vérifier cela on applique directement la définition d’équivalence des fractions (les “produits croisés” sont égaux): comme ab = ba par commutativité de la multiplication la réflexivité est démontrée. Le plus difficile ici est de montrer la transitivité. On suppose que la fraction a/b est équivalente à c/d et que la fraction c/d est équivalente à e/f. Il faut alors montrer que a/b est équivalente à e/f, autrement dit que les produits croisés af et be sont égaux. Cela vous rappelle-t-il des souvenirs? Le truc est de calculer plutôt adf et de montrer que c’est égal à bde… On voudra ensuite simplifier par d (si on peut? justifie cela!).

Exercice 10. Comme dans l’exercice 1 il faut bien lire la définition des relations R et S pour découvrir laquelle est une fonction et laquelle n’en est pas une. Elles sont réciproques l’une de l’autre, mais comme la fonction n’est pas bijective, la réciproque n’est pas une fonction et il n’y a pas de formule pour la décrire (comme c’était le cas de la réciproque d’une fonction affine que nous avons étudiée en classe).