Fonctions, Cours 2

Les puissances entières

Le film de cette semaine, de quatorze de minutes, introduit les puissances entières et concerne les pages 16-18. Les trois premiers exemples sont à inscrire au bas de la page 16 et les suivants (puissances impaires) sur le haut de la page 17. Nous montrerons dans la vidéo suivante la démonstration des propriétés (1) et (5) de la Proposition 1.3. Vous pouvez recopier la propriété (4) qui est montrée dans ce film sur la page de gauche du fascicule. L’exemple qui suit est l’Exemple 1.4 et vous recopierez en dessous les exemples suivants. Enfin la fin de la vidéo concerne les identités remarquables, Proposition 1.5, écrivez la preuve de (2) dans l’espace prévu au bas de la page 18.

Propriétés des puissances entières

On montre dans cette vidéo de 10 minutes les propriétés (1) et (5) de la Proposition 1.3. Elles sont à recopier à la page 17 et 18 respectivement.

Les racines

Cette vidéo dure 6 minutes et couvre le début de la Section 2. La page 19 avec l’introduction et les considérations qui amènent la Définition 2.2, puis on termine avec quelques exemples à copier en-dessous page 20.

Propriétés des racines

Ce film de 10 minutes complète le contenu de la Section 2 sur les racines. On y parle de la Proposition 2.4 dont on démontre la propriété (1), à recopier page 21 en laissant de la place pour les exemples qui suivent. Le film se termine avec la mise en garde déjà rédigée au bas de la page.

Puissances rationnelles

Dans cette vidéo on définit et étudie les puissances rationnelles. Le film de 14 minutes démarre avec les rappels de notation pour les puissances et les racines, aussi quelques exemples relatifs aux sections 1 et 2, puis introduit la notion de puissance rationnelle, où l’exposant peut être un nombre rationnel. La démonstration centrale du résultat expliqué autour de la minute 4 est à recopier dans vos cahiers à la page 22! La preuve se termine vers la minute 10′ et je vous donne alors un truc mnémotechnique pour vous souvenir de la notation. Dès la minutes 11′ on montre la propriété (1) de la Proposition 3.4, à écrire sur la page de gauche (page 23). A la fin du film, juste avant la minute 14′, une petite erreur s’est glissée dans mon tableau noir, il devrait y avoir un xy à la place du x que j’ai écrit par erreur…

Propriétés des puissances rationnelles

Un dernier film de 9 minutes pour ce chapitre. On y démontre la propriété (4) des puissances rationnelles (Proposition 3.4 page 23) et on termine avec un exemple.

Introduction aux polynômes

Pour terminer j’aimerais que vous écoutiez et lisiez la page d’introduction au chapitre 3 pour préparer le cours 3. Cette vidéo dure moins de 6 minutes et j’essaie d’y expliquer pourquoi nous souhaitons étudier les polynômes (le “comment” nous les étudierons viendra dans les prochaines vidéos!

Serie19 du 27 janvier

Exercice 3, partie 16. Pour rendre rationnels un dénominateur d’une fraction comme la troisième (“1 sur racine cinquième de 4”), nous avons appris à amplifier la fraction par le bon nombre. Dans le cas présent il s’agira du seul nombre ayant la propriété de donner 4 lorsqu’on le multiplie par 41/5, c’est-à-dire 44/5 puisque les puissances s’ajoutent lorsqu’on multiplie des puissances d’un même nombre:

41/5 • 44/5 = 45/5= 4

N’oubliez pas de simplifier la réponse si c’est possible! N’oubliez pas non plus, avant de vous lancer dans de longs calculs, de regarder si on ne peut pas avant toute chose effectuer des simplifications à l’aide des propriétés des racines, comme c’est le cas de la partie (6): quotient de racines cubiques = racine cubique du quotient.

Exercice 5, partie 21. On propose ici de transformer chaque racine de puissance ou puissance de racine par une puissance fractionnaire. Ainsi dans (3) on a d’abord a•a1/2 = a3/2 car les puissances s’additionnent. On doit calculer la racine cubique de ceci, c’est-à-dire: (a3/2)1/3 = a1/2. On peut alors retourner si souhaité à l’écriture sous forme de racine puisqu’il s’agit ici de la racine carrée de a.

Exercice 7 (i). Si n est un nombre naturel, quels sont les deux nombres naturels consécutifs? Il s’agit de n+1 et de n+2. La phrase en question traduit par conséquent l’expression mathématique n+ (n+1) + (n+2). J’aimerais encore que vous réduisiez cette expression polynomiale!

Exercice 10. On demande de remplir des murs de briques de polynômes, tout comme vous avez rempli par le passé des murs de briques de nombres (entiers, rationnels ou réels). Regardons par exemple le dernier mur. La recette est donnée par la formule 2P-M. Si deux briques adjacentes contiennent les polynômes P=2x2 et M=x2 -1 de gauche à droite, alors on calcule simplement

2P-M = 2 . 2x2 -(x2 -1) = 3x2 +1

Un peu plus difficile: si on connaît le résultat, par exemple 0 dans ce mur et qu’on voit en-dessous à droite le polynôme 2x2 alors on cherche le polynôme P tel que 2P-2x2 = 0. Autrement dit P vaut la moitié de 2x2.