Les nombres, cours 3

Chapitre 4 pour le 8 septembre

Dans ce film de 13 minutes nous définissons les fractions et l’équivalence de fractions. J’aimerais que vous lisiez la page 40 du cours, première page du Chapitre 4, que vous étiquetiez le diagramme de Venn page 41, puis que vous complétiez le milieu de la page 41 avec les informations données à partir de 3’10”. La démonstration qui commence à la 8ème minute est à recopier dans le fascicule à la page 42, c’est le Lemme 1.2. Ceci vous permettra de compléter la première partie de la Section 1 sur la définition des nombres rationnels.

Amplification et simplification.

Ce film de 10 minutes vous permettra de suivre le cours à la page 42 et de compléter la page 43. On y définit les nombres rationnels et on y explique les propriétés de simplification et d’amplification de fraction.

Fractions irréductibles

Encore un film de 10 minutes pour compléter la page 44 (haut de la page pour un exemple de réduction de fraction) et écouter la mise en garde du bas de la page.

La multiplication dans Q

Dans ce film de 11 minutes qui vous permettra de compléter la page 45 et le haut de la page 46 du fascicule nous motivons et introduisons la définition de la multiplication des nombres rationnels. Nous montrons aussi les premières propriétés importantes, les autres suivent!

Propriétés de la multiplication dans Q

Un petit film de 7 minutes pour passer en revue les propriétés décrites dans la Proposition 2.4. Préparez déjà une feuille à part ou le verso de la page 46 pour écrire la preuve de l’associativité!

La division dans Q

On termine avec un film de 10 minutes pour expliquer comment le problème de la division est résolu dans Q. Complétez la fin de la Section 2 (preuve de la Proposition 2.5 et exemple final).

Serie6 du 30 septembre

Exercice 11. Pensez au fait que les carrés à dessiner ne sont pas nécessairement en position standard sur le quadrillage indiqué, mais peuvent être “penchés”.

Exercice 12. On demande de montrer par exemple que la relation introduite sur les fractions est réflexive. Lorsqu’on veut résoudre un tel exercice, on commence par écrire ce qu’on doit démontrer: pour toute fraction a/b, on doit montrer que a/b ~ a/b, c’est-à-dire que la fraction a/b est en relation avec elle-même. A ce stade-là on se dit que c’est complètement évident, mais il faut plonger dans les définitions. Que cela veut-il dire que a/b ~ a/b? Par définition cela signifie que les produits croisés sont égaux: ab = ba. Est-ce que c’est vrai? Oui, par commutativité de la multiplication dans Z. Nous avons maintenant compris que la relation est réflexive, il faut encore le rédiger! Avant de jeter nos feuilles de brouillon, faisons-le.

Soit a/b une fraction arbitraire (a est un nombre entier relatif et b est un nombre entier relatif non nul). Puisque ab=ba par commutativité de la multiplication dans Z, on conclut que les produits croisés des fractions a/b et a/b sont égaux si bien que a/b ~ a/b par définition de la relation ~. La réflexivité est démontrée.

Je vous laisse démontrer et rédiger soigneuseument la symétrie!

Exercice 13. Le but de cet exercice est de comparer des grandeurs grâce à l’échelle indiquée sur le dessin. Si on choisit par exemple le point D en a) on mesure 5,6cm de l’origine. Comme le 1 est placé à 9,3cm on en conclut que D se trouve aux 5,6/9,3, ce qui fait environ 0,6. J’ai utilisé ici la barre / pour indiquer une fraction de nombres rationnels, c’est-à-dire une division dans Q. Ce n’est pas la précision qui importe, mais le principe!