Géométrie, Cours 3

Cours du 25 novembre: les angles

Nous commençons par un film de 6 minutes sur la notion de  perpendicularité. La définition est donnée de sorte à être clairement symétrique (si a est perpendiculaire à b, alors b est aussi perpendiculaire à a), mais on verra que dans la pratique, il suffit de vérifier la moitié. Complétez les illustrations des pages 27 et 28.

Construction de la perpendiculaire

On continue avec un film de 10 minutes qui explique comment on construit la seule et unique perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné. La construction et la marche à suivre du premier cas sont à faire et écrire au bas de la page 28, celles du deuxième cas au bas de la page 29. Soyez attentifs aux explications des deux justifications, déjà rédigées pour vous dans le fascicule.

Construction alternative

Une vidéo de tout juste 2 minutes explique une autre construction possible de la perpendiculaire. Complétez simplement l’illustration du bas de la page 30 avec les définitions de la page 31: projection d’un point sur une droite et distance d’un point à une droite.

Les angles rectilignes

On continue avec une vidéo de 7 minutes sur les angles rectilignes et tout le vocabulaire en relation. Complétez la page 31 et suivez attentivement les définitions de la page 32.

Les angles plans

Un film de 4 minutes pour définir ensuite la notion d’intérieur et d’extérieur d’un angle rectiligne (non plat) et surtout celle d’angle plan. C’est la page 33 de vos fascicules.

La bissectrice

Notre définition de la bissectrice est donnée en tant qu’axe de symétrie. Nous en montrons l’existence, l’unicité (pour un angle non plat) et proposons une construction à la règle et au compas. Regardez attentivement ce film et posez vos questions en classe, je reviendrai sur cette droite remarquable, mais sans aller dans tous les détails. Le point 1 du film (minute 1’00” – 3’15”) correspond à la Remarque 3.1, ceci est à inscrire dans votre fascicule à la page 34 et concerne les angles plats. Pour le point 2 (minute 3’18”- 4’18”) sur les angles nuls, l’illustration est à faire à la place prévue au bas de la page 34. La construction générale (5’08”-6’05”) est à faire ensuite à la page 35 et la marche à suivre en trois points (6’05” – 7’10”) est à rédiger juste au-dessus. Le reste du film concerne la justification. Sur le bas de la page 35, vous recopierez les explications données dès la minute 9’00” et jusqu’à 10’40”, la fin de la justification se trouve déjà dans vos fascicules.

La bissectrice comme lieu géométrique

Il nous faut trois minutes pour expliquer que la bissectrice, définie comme un axe de symétrie, est aussi caractérisée comme lieu géométrique. C’est le Théorème 3.3 de la page 36.

Angles opposés par le sommet

On termine le chapitre avec la démonstration du fait que deux angles opposés par le sommet sont isométriques. L’illustration est à compléter et la preuve est à recopier en page 37.

Serie11 du 18 novembre

Exercice 3. J’aimerais voir de belles marches à suivre, avec un titre (Marche-à-suivre) et ensuite sur chaque ligne un point de la construction, comme nous l’avons fait en classe.

Exercice 5. On donne deux points A et B, ainsi qu’une droite d. Un point M se trouve sur la droite d. Quel est le lieu géométrique des points d’intersection P des médiatrices des segments [AM] et [BM] lorsque M parcourt d?

On suppose que les points A et B se trouvent de part et d’autre de la droite d. En faisant varier M sur la droite d vous avez dans doute eu l’intuition que les points P parcourent une droite. Cette droite est en fait la médiatrice du segment [AB]. Cette partie pratique de l’exercice étant faite, la partie théorique commence! Il s’agit de montrer que P appartient à la médiatrice. Comment faire? Il faut se souvenir que la médiatrice de [AB]  est le lieu géométrique des points équidistants de A et B. Il suffit donc de montrer que les distances de P à A et de P à B sont égales.

Pour terminer il faudra encore montrer que tous les points de la médiatrice peuvent s’obtenir comme un point P construit de cette façon. Soignez la rédaction et bon travail!

Exercice 6. La rédaction d’une démonstration n’est pas un exercice facile, voici comment je vous propose de procéder.

Reprenons la première partie de cette exercice. On se donne un cercle C (c’est un Gamma majuscule, mais ici ce sera C) et d un diamètre. Je dois démontrer que la symétrie S d’axe d transforme un point de C en un point de C. C’est la première inclusion et je vous laisse faire la deuxième! Pour aborder cette question, je commence par écrire les définitions pour pouvoir travailler avec des notions claires et précises:

1. Le cercle C est le lieu géométrique des points situés à une distance donnée r — le rayon — d’un point donné O — le centre du cercle.
2. Un diamètre d de C est une droite passant par le centre O.
3. La symétrie S d’axe d est la seule isométrie du plan qui fixe d point par point mais qui n’est pas l’identité.

Ceci étant posé, je peux commencer à réfléchir. Souvent le problème se situe plutôt du côté de la formulation que de la compréhension, les observations faites suffisent en fait à conclure, même si on ne le voit pas immédiatement! Au lieu de parler de l’image S(C) qui doit être inclue dans C, je vais porter mon attention sur chaque point du cercle! Soit P un point du cercle C; je dois démontrer que S(P) se trouve encore sur le cercle. J’ai à présent traduit et précisé tous les points, j’espère que la solution vous apparaît?

Comment en effet montrer que S(P) appartient à C? Par le point 1 ci-dessus je dois montrer que d(S(P), O) = r. Or, le point O se trouve sur l’axe de symétrie, n’est-ce pas, par définition de diamètre et c’est le point 2. Par conséquent d(S(P), O) = d(S(P), S(O)).

Nous n’avons pas encore utilisé le point 3… la symétrie S est une isométrie, ce qui veut dire qu’elle préserve les distances! Mais alors d(S(P), S(O)) = d(P, O). Qu’avons nous enfin supposé sur le point P? Il appartient au cercle C et donc par définition du cercle, point 1, d(P, O) = r.

Je vous laisse le soin de conclure!