Retour, Cours 5

Le double arc capable

Dans cette vidéo de 9 minutes nous découvrons le lieu géométrique des points qui voient un segment donné sous un angle donné: le double arc capable. Pages 54-56.

Fin de la preuve (justification)

Nous terminons en 8 minutes la théorie sur le double arc capable et mentionnons le cas particulier de l’angle droit: le double arc capable associé est un cercle, le cercle de Thalès.

Construction des tangentes

Pour finir le Chapitre 5, nous appliquons la théorie à la construction de tangentes. Une vidéo un peu plus longue, de 13 minutes. Elle vous aidera à compléter le cours, pages 58-60.

L’aire

Cette vidéo concerne la notion d’aire et ne dure que 8 petites minutes. On introduit d’abord trois règles très raisonnables que la notion d’aire doit satisfaire, avant de montrer qu’on peut alors calculer l’aire d’un rectangle. Elle accompagne les pages 61-63. Prenez des notes aux endroits prévus dans le fascicule!

Une bonne question sur la formulation

Cher Monsieur Scherer,

l’axiome d’invariance dit que deux surfaces polygonales convexes isométriques ont la même aire. Mais est-ce que la surface polygonale doit impérativement être convexe?

Les axiomes sont souvent formulés en sorte à ne pas dire plus qu’il n’en faut. Par exemple l’axiome des parallèles dit qu’il existe au plus une parallèle à une droite donnée passant par un point donné (car on montre qu’il en existe au moins une, si bien que cet axiome implique que la parallèle est unique). On pourrait imposer un axiome plus fort qui dirait qu’il existe exactement une parallèle à une droite donnée passant par un point donné, mais ce n’est pas nécessaire.

De même on impose ici un axiome en apparence plus faible, car il n’est pas nécessaire de mettre dans cet axiome des affirmations que l’on peut démontrer. Par exemple nous verrons que deux fers de lance isométriques ont même aire, et pourtant ils ne sont pas convexes. Ce n’est donc pas l’axiome qui implique directement cela, mais on peut le prouver: on coupe les fers de lance le long de leur axe de symétrie et on obtient deux paires de triangles (convexes!) isométriques si bien que notre axiome, en combinaison avec l’axiome de découpage, permet de conclure.

En général nous mentionerons, mais sans démontrer ce fait général, qu’il est possible de trianguler une surface polygonale, convexe ou non. On pourrait donc prouver que l’axiome tel que nous l’avons donné implique le résultat plus général suivant: deux surfaces polygonales simples isométriques ont la même aire.

J’espère que la réponse explique la raison de la forme de cet axiome et met aussi en lumière l’approche axiomatique de ce chapitre et ce principe de minimalité des axiomes consistant à ne pas imposer des règles qui sont conséquences des règles précédentes.

Aire d’un triangle rectangle

Cette vidéo dure 9′ et permet de calculer l’aire d’un triangle rectangle. Cela concerne les pages 63 pour l’introduction et la définition, la page 64 pour l’énoncé du théorème et la construction sur la figure au bas de la page, ainsi que la preuve au haut de la page 65.

Aire d’un triangle arbitraire

On termine la preuve avec le cas général, les notes sont à prendre sur la page de gauche (il s’agit d’un exercice d’une prochaine série, il est ainsi déjà fait!). Le film dure juste un peu plus de 5′.

Aire des parallélogrammes

Un film de 5′ pour la preuve de la Proposition 3.1 qui établit la formule de l’aire d’un parallélogramme, à écrire dans vos fascicules à la page 65 pour la construction et page 66 pour la preuve.

Aire des rhomboïdes et des trapèzes

Une vidéo de 6′ pour les calculs d’aire mentionnés dans le titre, pour compléter les pages 66 et 67.

Serie33 du 27 mai

Exercice 1. Avant d’expliquer comment on construit le point cherché, il vaut la peine d’écrire algébriquement les conditions étudiées. Dans le cas du périmètre par exemple, on cherche un point tel que

AB+ BM+ MA= AC+ CM+ MA.

Simplifie cette égalité et déduis-en une propriété géométrique du point M!

Exercice 4. Pour commencer il faut se demander si l’aire de la surface colorée dépend de la position du carré mobile. Pense à faire un découpage pour ramener le problème à l’étude d’un carré dont les côtés sont parallèles à ceux du carré fixe. Pour cela il faut supposer que la longueur du côté du carré mobile est plus longue que la moitié de la diagonale du carré fixe! C’est le cas sur la figure et nous supposerons donc que nous sommes dans cetdte situation. Appelons la longueur du côté du carré fixe. Quelle est l’aire de la surface colorée, exprimée en fonction de a?

Exercice 5. Si le triangle équilatéral a pour sommets A, B et C et que le piquet est placé en un point P, découpe-le en trois triangles ayant tous P comme sommet. Calcule ensuite l’aire du triangle ABC comme somme des aires de ces trois triangles. La somme des longueurs des trois fils va apparaître et t’aidera à résoudre le problème!

Exercice 6. Nous avons fait cet exercice dans les films de la semaine. Regardons par exemple, le cas où le pied de la hauteur H se trouve en dehors du segment [BC], disons plus près de B que de C. L’idée est de considérer les triangles HAB et HAC qui sont rectangles et pour lesquels le cas démontré en cours s’applique. Je vais noter |HA| la longueur du segment [HA] ici. On utilise ensuite les axiomes de l’aire pour justifier soigneusement que

  1. l’aire de HAC est égale à la somme des aires de HAB et ABC (axiome de découpage)
  2. la hauteur issue de A est la même pour les trois triangles (car les bases sont toutes trois supportées par BC); appelons h la longueur de cette hauteur
  3. Aire(ABC) = Aire(HAC) – Aire(HAB) par 1
  4. on applique la formule connue pour les triangles rectangles et alors Aire(ABC) = 1/2(h•|HC| – h•|HB|)
  5. par mise en évidence Aire(ABC) = h/2(HC| – |HB|) = h/2•|BC| puisque B se trouve entre H et C (axiome de distance (D4))

Nous avons terminé la démonstration. Un croquis sera utile pour le correcteur pour visualiser les triangles et comprendre les notations.

Exercice 9. Pour chaque problème, commence par écrire une équation qui traduit le problème géométrique pour trouver la ou les valeurs de la coordonnée inconnue x. Par exemple pour le premier problème on constate que puisque les points B et C ont la même abscisse, ils se trouvent sur la même droite verticale x=-2.  Ainsi la hauteur issue de A sera de longueur 6. Puisque la base de ce triangle mesure

|BC| = |5-x|

on en conclut que l’équation |5-x| .6/2 = 24doit être vérifiée. Que vaut x? Attention aux valeurs absolues!

Exercice 10. Pour ces constructions il sera utile d’appliquer notre stratégie de supposer que le problème est résolu, c’est-à-dire de faire un croquis de la figure à construire (une figure d’étude) et de se demander quelles informations on connaît et ce qu’on aimerait trouver pour pouvoir effectuer la construction. A vos feuilles de brouillon!