Première année: les fonctions, Cours 1

Introduction

On commence par une vidéo de 9 minutes qui nous permet de parcourir les premières pages du fascicule et prendre connaissance du programme qui nous attend ces prochaines semaines. Suivez bien les explications, et trouvez la fonction que je ne vous donne pas! Le film se termine avec un exemple d’application de la règle de double distributivité, à recopier à la page 6.

La racine de 2

Voici une vidéo de 15 minutes pour démontrer que la racine carrée de 2 n’est pas un nombre rationnel. La preuve se fait par l’absurde et repose sur un lemme que nous démontrons par contraposition. Il est à recopier à la page 7, en haut. La démonstration du Théorème 1.2 suit et doit être rédigée au bas de la page 7, haut de la page 8. La film se termine avec une explication sur les lacunes de Q, c’est la Remarque 1.4 de la page 8. Il est important de déjà avoir bien compris ces preuves, elles sont très importantes, non seulement à cause du résultat mathématique, mais aussi pour les techniques de démonstration qu’elles illustrent.

Approximer un nombre réel

On continue avec une vidéo de 11 minutes sur la Section 2. Après quelques rappels sur la notation décimale, on donne quelques exemples à recopier au bas de la page 9 (nombres entiers, rationnels et irrationnels), puis on introduit la définition de l’approximation d’un nombre réel avec l’indication de la précision. Exemples à écrire au haut de la page 10.

Le corps des nombres réels

Un film de 5 minutes pour rappeler la définition d’anneau commutatif et de corps. Il se termine avec une explication informelle de la propriété de complétude des nombres réels (il n’y pas de lacune).

Fractions de nombres réels

On commence la Section 4 avec la démonstration d’un fait général: l’unicité de l’inverse, à compléter à la page 11. On donne quelques exemples à recopier en-dessous, puis on démontre l’existence et l’unicité des quotients de nombres réels, la preuve est à rédiger à la page 12 et elle nous permettra de définir la notion de fraction de nombres réels. Ce film dure 13 minutes.

Propriétés des fractions de nombres réels

On donne quelques exemples, page 12, on lit ensemble la preuve de l’une des propriétés de ces fractions, mais sans s’y attarder car elles ressemblent beaucoup à ce que nous avons fait soigneusement pour les fractions de nombres entiers. On recopie deux exemples au bas de la page 13. Tout ceci en 11 minutes.

Notation scientifique

On termine le Chapitre 1 avec un film de 9 minute sur la notation scientifique des nombres réels. Ecoutez attentivement la définition et recopiez les exemples au bas de la page 14. La page 15 ne se trouve pas dans le film, elle est à lire pour préparer le cours et concerne la terminologie liée aux puissances de 10.

Série 17 du 13 janvier

Exercice 1. On demande de démontrer que la racine carrée de 3 n’est pas un nombre rationnel. Ne lisez pas ceci si vous préférez trouver par vous-même le lemme qui permettra d’adapter la démonstration du cours! Au lieu de concerner des nombres pairs et impairs, c’est-à-dire des multiples de 2 ou non, il s’agit ici de travailler avec des multiples de 3. Il faut donc démontrer préalablement que si a2 est un multiple de 3, alors le nombre entier a est aussi un multiple de 3. Pour le démontrer je vous propose de vous baser sur un résultat qui suit du Théorème Fondamental de l’arithmétique: si un nombre premier p divise un produit ab, alors p divise forcément soit a, soit b.

Une autre manière de dire les choses est que si a s’écrit comme produit de nombre premiers a=p1p2…pk alors a2 possède les mêmes facteurs premiers.

Exercice 8. Inspire-toi des démonstrations faites ensemble, dans les vidéos ou en classe, pour écrire des démonstrations rigoureuses et détaillées. On demande de démontrer que les fractions de nombres réels peuvent aussi être amplifiées. On considère donc une “fraction” dont le numérateur est nombre réel x et le dénominateur un nombre réel non nul y. En divisant chacun d’eux par un troisième nombre z, non nul, on obtient une nouvelle fraction de nombres réels. Pour montrer que ces deux nombres sont égaux, il suffit de vérifier que les produits croisés coïncident: Est-ce que (x:z) . y = (y:z) . x? Je vous demande de vérifier cela en n’utilisant que des propriétés des opérations dans R. Il pourra être utile de se souvenir que diviser c’est multiplier par l’inverse!

Serie18 du 20 janvier

Exercice 1. NO196: Pour la première partie je pense que l’inventeur de cet exercice pensait à la mise en évidence de la puissance la plus petite (et la distributivité donc). Ainsi pour calculer 33+32 on met en évidence 32 pour obtenir 32(3+1) = 32 • 4. Les autres parties font appel à des propriétés des puissances entières que nous avons vues en cours.

NO197 (k): Je propose de modifier en ajoutant des parenthèses pour que la priorité des opérations soit claire: (22)3. Comparez ce calcul à celui demandé en (l). Lisez bien la donnée et n’oubliez pas d’écrire les réponses sous la forme demandée, proprement, pour votre correcteur.

Exercice 2. On corrigera les égalités fausses. Par exemple la dernière est fausse car il manque le double produit. On pourrait donc corriger en écrivant l’égalité vraie: 42 + 2 • 4 • 3 + 32= 72 ou aussi (4 + 3)2= 72.

Exercice 6.(1) Voici un autre exemple que celui que nous avons vu en classe. Nous avons vu en cours que la racine carrée d’un nombre réel existe si et seulement si celui-ci est positif (ou nul). Ainsi la racine carrée de ab existe si le produit ab est positif (ou nul). Il faut et il suffit donc que les nombres a et b aient le même signe.

Exercice 9. La technique vue dans le cours est d’amplifier la fraction par ce qu’il faut pour que le dénominateur devienne entier.

Exercice 10, partie 5. La question n’est pas très bien posée dans ce manuel. On aimerait comparer les nombres a+b et la racine carrée de a2 + b2 . Je vous propose de plutôt regarder des nombres réels a et b strictement positifs ici! Il s’agit donc de dire laquelle des deux expressions est plus grande (strictement?).

Pour préparer le test

Voici encore quelques équations paramétriques pour préparer le test du mercredi 1er avril. Dans chaque cas le nombre réel a est un paramètre réel en fonction duquel il faut discuter la valeur des solutions.

1. (1+a)x  -3 = ax +7 -x

2.  (1+a)x  -3 = ax +7 +x

3. 5ax + 1 -x = 3ax + a + x -3

4. 5ax + 1 -x = 3ax + a + x

Les solutions se trouvent en bas de page. Voici aussi deux relations que je vous demande de composer (les ensembles de départ et d’arrivée sont toujours R).

1. xRy si et seulement si x=|y| (la valeur absolue)

2. ySz si et seulement si y2=z3

Dessiner le graphe de R, calculer la composition SoR, déterminer le plus grand sous-ensemble de R auquel il faut restreindre pour que ce soit une fonction, démontrer enfin que cette fonction est injective, mais pas surjective.

 

Cours 20 du 5 février 2020

Le film de 12 minutes de cette semaine concerne les notions d’injectivité et de surjectivité des fonctions. Nous étudierons encore les fonctions et leur représentation en classe avant de revenir sur ces notions peut-être un peu abstraites et nouvelles. Les trois premières minutes reviennent sur ce que nous avons vu en cours. L’exemple (3’00-3’30”) est à écrire au bas de la page 35 (exemple 1.5). Les exemples des minutes 5′-7′ ressemblent à ceux dont nous parlerons en classe, il ne sont pas à recopier. Familiarisez-vous par contre avec la notion d’injectivité et de surjectivité grâce à ces exemples qui sont repris dès la minute 8’30” et jusqu’à la fin de la vidéo.

Attention

Les indications qui suivent datent de 2019! Elles vont être actualisées cette année!

Solutions des exercices de préparation

1. S={5}

2. S=Ø

3. Si a=1 alors S=Ø, sinon S={(a-4)/(2a-2)}

4. Si a=1 alors S=R, sinon S={1/2}

Relation. Le graphe de la relation R a été vu en cours, c’est le symétrique par rapport à la diagonale de la fonction valeur absolue, attention de ne pas mélanger x et y! Pour composer R et S, on remarque qu’un nombre négatif x n’est en relation avec personne, mais que pour un nombre positif x on a xRx et xR(-x). On se demande maintenant avec qui x et -x sont en relation pour la relation S. Par définition xSz si x2=z3 et (-x)Sz si (-x)2=z3 . Dans les deux cas z est la racine cubique de x2. Autrement dit x négatif n’est en relation avec personne, mais x positif ou nul est en relation avec x3/2. C’est une fonction sur R+. Nous connaissons cette fonction injective, qui ne prend que des valeurs positives et n’est donc pas surjective.