Première année: retour à la géométrie

Rappel: axiomes de connexion

Pour reprendre la géométrie vous pouvez revoir ce film de 11 minutes sur les axiomes de connexion. Même si les exemples de géométrie de connexion qui sont présentés dans cette vidéo ne sont pas des modèles de la géométrie euclidienne, ils vous permettront peut-être de vous souvenir qu’il ne faut pas se fier à son intuition, mais baser un raisonnement sur les axiomes et les théorèmes déjà démontrés.

Rappels de géométrie

Ce film de 12 minutes concerne les pages 4-9 du fascicule IV de géométrie. Il rappelle tous les axiomes et le Théorème de classification des isométries. J’aimerais aussi que vous lisiez ces pages, elles ne concernent que ce que nous avons déjà étudié ensemble cet hiver. 

Les translations

Ce film de 11 minutes concerne les translations, la première section nouvelle du chapitre 1 du fascicule IV de géométrie. Recopiez la démonstration à la page 10 sans oublier de compléter l’illustration.

Translations et vecteurs

Pour terminer l’étude des translations nous voyons dans les pages 11 et 12 du fascicule qu’une translation est entièrement déterminée par l’image d’un point, autrement dit par un vecteur. Cette vidéo dure 11 minutes.

Les renversements sans points fixes

Cette vidéo de 8 minutes concerne les pages 13 et 14 du fascicule et vous présente les renversements sans points fixe, ce qui conclut notre étude des isométries du plan puisque nous les connaissons toutes maintenant!

Triangles isométriques

Nous parcourons maintenant les pages 15-17, début du Chapitre 2. Il s’agit de préparatifs, 10 minutes, pour les démonstrations des trois cas d’isométrie des triangles.

Premier cas d’isométrie des triangles

Nous démontrons dans ce film  de 6 minutes le premier cas d’isométrie, pages 17-18.

Deuxième cas d’isométrie des triangles

Cette vidéo de 11 minutes concerne le deuxième cas d’isomorphisme des triangles. Nous avons déjà traité le premier cas dans le film précédent, je détaille un peu plus ce qui se passe dans celui-ci car il s’agit de la vidéo que je demandais de regarder de toute manière avant cette année de classe inversée…

Serie28 du 8 avril

Exercice 3. Comme dit en classe à certains d’entre vous, lorsqu’on parle de contre-exemple, on demande un contre-exemple concret. Il vaut donc mieux donner un triangle en expliquant de quel genre de triangle il s’agit (rectangle, isocèle?) et en indiquant les longueurs de ses côtés et les mesures des angles (par exemple 45, 45 et 90 degrés, plutôt que de dire 90, et des angles µ et ß sans préciser ce que c’est). Ce sera alors plus facile aussi d’expliquer pourquoi les deux triangles choisis ne sont pas isométriques. Si en plus on fait un dessin précis, ce sera facile pour le correcteur de comprendre l’exemple.

Serie27 du 1er avril

Nous avons fait les exercices 1 et 2 ensemble, j’avais rédigé les indications suivantes l’année passée.

Exercice 1. Il s’agit de suivre la marche à suivre déterminée dans la preuve du Théorème de classification des isométries. Pour transformer A en A’ on utilise en général la symétrie axiale dont l’axe est la médiatrice du segment [AA’]. Comme cela n’a pas de sens quand A=A’ on utilise par exemple l’axe AB. Au point (iii) il faut corriger C en C’.

L’un de vous demande: “Je ne comprends pas comment la symétrie Sc peut fixer A’ et B’ dans le point (iii). Je vois comment construire un axe de symétrie transformant C2 en C’ mais il me semble que cet axe ne passe ni par A’, ni par B’. Aussi, dans le point (ii), je vois que l’axe b passe par le point A’ mais je ne sais pas comment le démontrer.”

Commençons par le commencement et parlons donc du point (ii), le point (iii) est en tous points similaire et ce sera un bon exercice de le rédiger soigneusement une fois que (ii) aura été compris.

Situation: nous avons réussi à envoyer A sur A’ par une symétrie axiale Sa et pour continuer nous décidons en général (sauf si B1=B’) de choisir pour b la médiatrice de [B1B’]B1 est l’image par Sa du point B. En effet  par définition de la médiatrice on a bien que Sb envoie B1 sur B’.

Question: pourquoi le point A’ ne bouge-t-il plus dès maintenant, c’est-à-dire pourquoi A’ appartient-il à la droite b?

Réponse: D’une part la symétrie Sa est une isométrie, elle conserve les distances, si bien que d(A, B) = d(Sa(A), Sa(B)) = d(A’, B1).

D’autre part f est une isométrie et donc d(A, B) = d(A’, B’). Par transitivité de l’égalité on en déduit que d(A’, B1) = d(A’, B’).

Ahhh! Tonnerre de Brest! La caractérisation de la médiatrice affirme que b est le lieu géométrique des points équidistants de B1 et B’. C’est justement le cas de A’! Par conséquent A’ appartient à b.

Je pense que la fin de l’exercice ne devrait plus poser trop de problèmes maintenant!

Exercice 2. L’idée est celle que nous avons utilisé avec succès plusieurs fois déjà: pour composer deux isométries on les décompose en composition de symétries axiales et on essaie de choisir le deuxième axe de la première égal au premier axe de la seconde de sorte à ce que la quadruple composition se simplifie en une composition de deux symétries seulement (puisque SaoSa = Id).

Exercice 4.Vous avez le droit au rapporteur pour construire cette rotation! Au vu des informations données, on ne connaît pas le centre de rotation immédiatement… Par contre on sait qu’il se trouve à égale distance de et A’,n’est-ce pas? On connaît aussi l’angle de rotation, 50 degrés. Avec ces indications vous devriez pouvoir construire le triangle OAA’!

Exercice 7. La partie 2 est la plus ardue, mais aussi la plus intéressante! L’idée est d’écrire les deux isométries (préservant toutes deux l’orientation des angles) comme compositions de deux symétries axiales. L’astuce est d’utiliser deux fois le même axe d de sorte à faire apparaître Sd o Sd lorsqu’on calcule la (quadruple) composition. Pour justifier ce choix, il faut se souvenir qu’une rotation est une composition de deux symétries dont les axes passent par le centre de rotation et que l’on peut choisir n’importe quelle droite passant par le centre comme premier axe (et alors le second est uniquement déterminé par la rotation) et qu’une translation  est une composition de deux symétries dont les deux axes sont perpendiculaires à la direction de la translation et que l’on peut choisir parmi celles-ci n’importe laquelle comme deuxième axe (et alors le premier est uniquement déterminé par la translation).

Exercice 8. Pour comprendre quelle isométrie est décrite comme composition de trois symétries axiales dans les cas proposés, on pourra considérer la composition f=Sb o Sa et choisir astucieusement un autre axe de symétrie d pour écrire cette même isométrie f comme composition de deux autres symétries axiales! Par exemple, lorsque les axes a, b et c sont parallèles on choisira d’écrire la translation f comme Sc o Sd puisque l’on peut choisir l’axe de la deuxième symétrie arbitrairement parmi les droites perpendiculaires à la direction de la translation. L’axe d est alors imposé. Je vous laisse calculer Sc o Sb o Sa à l’aide de cette astuce!

Autres indications

Exercice 1. Pour ces constructions il sera utile d’appliquer notre stratégie de supposer que le problème est résolu, c’est-à-dire de faire un croquis de la figure à construire (une figure d’étude) et de se demander quelles informations on connaît et ce qu’on aimerait trouver pour pouvoir effectuer la construction. A vos feuilles de brouillon!

Exercice 6. Relis la marche à suivre du cours pour ce problème, attention à l’ordre des points!

Exercice 7. Relis la méthode de la dernière page de cours pour les rapports qui ne sont pas entiers. Souviens-toi aussi de ne pas aller trop vite et de ne pas croire qu’il suffit de couper un intervalle en 4 si le rapport de section vaut un quart…