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Le centre du cercle circonscrit

On commence avec une vidéo de 9 minutes sur le point d’intersection des médiatrices d’un triangle, centre du cercle circonscrit. Elle concerne les pages 43 et 44, sur laquelle vous écrirez la démonstration importante (mais pas compliquée je pense).

L’orthocentre

Un petit film de trois minutes, sans démonstration, pour simplement découvrir le point d’intersection des hauteurs d’un triangle. Page 45 des fascicules.

Le centre de gravité

Le film suivant de 13 minutes permet de comprendre pourquoi les médianes d’un triangle se coupent en un point, le centre de gravité. Les explications sur les segments moyens (minutes 1′ à 7′ font l’objet d’un exercice dans la Série 31, vous pouvez prendre des notes sur la page de gauche, ce sera utile! La démonstration du Théorème 5.1 est à recopier dans vos cahiers, la première partie avec une illustration soignée à la règle est à faire en page 46 et la fin en page 47. L’argument est subtil, préparez vos questions pour le cours de mercredi!

Le centre du cercle inscrit

Cette vidéo de 9 minutes concerne les pages 47 et 48, en particulier la démonstration de la page 48. Observez les analogies entre cette preuve et celle qui traitait du centre du cercle circonscrit!

Polygones réguliers

Le dernier film du chapitre ne dure que 4 minutes et montre que les polygones réguliers sont à la fois inscriptibles et circonscriptibles. Il s’agit des pages 49 et 50 des fascicules où je ne vous demande que de compléter le dessin en suivant les explications.

Théorème de l’angle inscrit

Le premier film du Chapitre 5 dure 10 minutes et concerne le Théorème de l’angle inscrit, il est à regarder en complétant les pages 51 (ajouter sur l’illustration les constructions effectuées, minutes 0′-2′), 52 et 53 (jusqu’à la minute 5’30 pour le haut de la page pour le cas où le centre O se trouve sur SB). La fin du film concerne le cas qui n’est pas présent dans vos fascicules, vous pouvez le copiez sur la page de gauche. Ce n’est pas difficile, je pense que la preuve vous plaira!

Fin de la preuve pour l’angle inscrit

Un film de six minutes pour terminer la preuve, avec le cas où le centre du cercle se trouve à l’intérieur de l’angle, à recopier page 53.

Serie32 du 20 mai

Exercice 2. L’idée est que les portes des enclos se touchent sans se chevaucher. Démontre que les points de contact des portes se trouvent en fait sur le cercle inscrit, ce sont donc les points de tangence des côtés du triangle avec le cercle inscrit.

Ce que je vous propose d’étudier est la situation suivante. Considérons le triangle PQR et le centre O du cercle inscrit. Appelons A, B, C les points de tangence sur les côtés PQ, PR et QR. Les segments OA, OB et OC sont alors isométriques et perpendiculaires aux côtés PQ, PR et QR du triangle. Tu devrais pouvoir conclure que les points A, B, C déterminent une manière de partager chaque côté du triangle en deux de sorte à résoudre de manière optimale le problèmes des portails. L’idée est que les segments OA, OB et OC sont tangents aux cercles de centre P, Q, R et de rayon PA, QC et RB respectivement. Il faut donc démontrer que les segments PA et PB sont isométriques! Et de même pour les segments QA, QC; et enfin pour RB et RC.

La conclusion est donc que le paysan doit tracer les bissectrices (ou deux en tout cas), trouver le centre du cercle inscrit, tracer ce cercle et déterminer les points A, B, C pour pouvoir ensuite construire des portails idéaux! Ceci permet de construire géométriquement la solution. Pour trouver la solution dans le cas proposé, on pourra ensuite résoudre quelques équations.

Exercice 3. Pense à distinguer le cas des angles aigus et celui des angles obtus! Il y a parfois une meilleure solution que de faire passer un cercle par les trois sommets du triangle pour couvrir la déchirure.

Exercice 5. Mais comme c’est agréable, c’est le lemme démontré dans le film sur le barycentre!

Exercice 12. Lorsqu’on dit qu’on « projette orthogonalement » un point sur une droite, cela veut dire qu’on construit la droite passant par ce point et perpendiculaire à la droite. La projection est l’intersection de ces deux droites. Pour résoudre ce problème, il vaut la peine de changer le point de vue et au lieu de minimiser la distance entre I et J, se rendre compte que cela revient au même de minimiser la distance entre A et M. L’avais-tu déjà vu? Bravo!

MiniSerie31 du 13 mai

Exercice 7. Polygones circonscriptibles. Pour les trois polygones simples je vous propose de prolonger certains côtés du polygone pour former un triangle. Le cercle inscrit au polygone, s’il existe!, devra nécessairement être un cercle inscrit de ce triangle. Pour le premier polygone il faut adapter un peu cette méthode, même si la réponse est probablement évidente?

Exercice 10.Voici les réponses du Vrai/Faux

1. Vrai 2. Vrai 3. Faux 4. Faux 5. Vrai 6. Faux 7. Vrai 8. Faux 9. Faux 10. Vrai 11. Faux 12. Faux 13. Faux 14. Faux 15. Vrai 16. Faux 17. Vrai 18. Faux 19. Faux 20. Vrai

Il faut impérativement justifier ses réponses, comme nous l’avons fait en classe. Souvent un contre-exemple permet de montrer qu’une affirmation est fausse, c’est le cas de la question 14 où il suffit de dessiner un cerf-volant dont les angles isométriques ne sont pas droits. Pour prouver qu’une affirmation est vraie une petite explication permet de montrer au correcteur que vous avez compris. C’est le cas de la question 20 où il faut utiliser le fait que le lieu géométrique des points desquels on voit un segment sous un angle de 45 degrés (respectivement 90) est un double arc capable (respectivement le cercle de Thalès) et on parle donc ici de la région comprise entre ces deux lieux. Il s’agit bien d’une double lunule!