Les nombres, cours 2

Chapitre 3 pour le 1er septembre

Complétez les pages 28-30 du fascicule à l’aide des explications de ce film de 16 minutes. On y définit l’addition pour les nombres entiers relatifs et on y explique comment démontrer l’associativité de l’addition. Jusqu’à la minute 10 cela concerne la remarque du bas de la page 28/ haut de la page 29, puis il s’agit de la démonstration de l’associativité de l’addition que vous recopierez à la page 30. Idéalement il devrait rester un peu de place pour que nous parlions de la commutativité: a+b = b+a.

La soustraction.

Cette vidéo de 7 minutes présente la soustraction dans Z. Compléter les pages 30 et 31 en le regardant. Le film commence avec la valeur absolue (fin de la Section 2), puis enchaîne avec la petite Section 3 sur la soustraction. Soustraire c’est ajouter l’opposé!

Multiplication.

Ce film de 11 minutes vous permettra de compléter les pages 31 et 32 du Chapitre 3, Section 4. Il commence avec la définition de la multiplication et présente ses propriétés. Je donne un exemple, puis démontre une propriété sur une page à part que vous pouvez copier aussi sur une page blanche.

Z est intègre.

Un petit film de moins de 3 minutes dans lequel on parle d’intégrité. Il permet de suivre les explications du bas de la page 32 et de copier la preuve en haut de la page 33.

Propriétés de la division dans Z.

Cette vidéo de 11 minutes concerne la définition de la division, la preuve de l’unicité du quotient et les propriétés élémentaires. Elle vous permet de compléter la fin de la Section 4, pages 33 et 34.

La soustraction dans Z.

Ce film parcourt 9 minutes toute la Section 5 du Chapitre 3 sur les propriétés de la soustraction. On y démontre en particulier la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction.

Priorité des opérations.

Dans ce petit film de 7 minutes on parle des règles d’écriture et du rôle des parenthèses, en particulier le niveau des parenthèses. C’est le début de la Section 6, pages 34 et 35.

Parenthèses superflues.

Encore 10 minutes pour terminer la Section 6 et le Chapitre 3, avec les simplifications d’écriture dans les expressions contenant des parenthèses. Dès maintenant nous appliquons ces règles!

Une vidéo de Mickaël Launay

Pour finir une très jolie vidéo de 13 minutes sur un calcul qui fait chauffer les réseaux sociaux paraît-il. Ce problème de priorité des opérations donne l’occasion d’une leçon d’histoire des mathématiques.

Série 2 du 1er septembre 2021

Serie5 du 23 septembre 2020

Exercice 5. Il s’agit de montrer l’inégalité triangulaire: la valeur absolue d’une somme de nombres entiers relatifs est plus petite (ou égale) à la somme des valeurs absolues de ces nombres. Pas de surprise ici, il faut distinguer quatre cas selon le signe de chacun des nombres a et b. Lorsqu’ils ont le même signe, ce n’est pas compliqué, je vous laisse faire! Regardons le cas intéressant où a et b ont des signes distincts, disons a est négatif et b positif. Alors il existe des nombres naturels m et n tels que a = (-m) et b=(+n). Il est facile de calculer

|a| + |b| = (+m) + (+n) = +(m+n)

Il faut encore calculer |a+b| = |(-m) + (+n)| et pour cela il faut distinguer deux sous-cas. En effet, si m≥ n, alors |a+b| = +(m-n), alors que sinon  |a+b| = +(n-m). Dans les deux cas cette valeur absolue est plus petite que la somme des valeurs absolues. En effet +(m-n)≤+(m+n) puisque +(m-n)≤m≤+(m+n).

Exercice 7. L’opposé du nombre a+b est -(a+b). On vous demande de montrer que c’est aussi -a-b. Comment vérifier cela? Par définition l’opposé d’un nombre x est le seul nombre c ayant la propriété que x+c=0. Il faut donc vérifier que

(a+b) + (-a-b) = 0

Il n’est pas nécessaire de séparer les cas selon le signe des nombres a et b. Par exemple pour démontrer que

-(a-b) = -a + b

il faut vérifier que -a +b est bien l’opposé de (a-b). Comment fait-on cela? L’opposé d’un nombre x étant le seul nombre c qui a la propriété que x+c = 0, il faut donc prouver que

(a-b) + (-a +b) = 0

Pour cela on peut utiliser toutes les propriétés de l’addition que nous avons déjà vues: commutativité, associativité, opposé, élément neutre.