Géométrie, Cours 4

Introduction

Dans un premier film de seulement 4 minutes nous parlons brièvement de ce qui motive l’introduction de l’axiome des parallèles. On mentionne la géométrie hyperbolique et on parle des trois positions relatives pour deux droites.

Construction d’une parallèle

Dans la deuxième vidéo, de 11 minutes, on présente la construction, à la règle et au compas, d’une parallèle à une droite donnée passant par un point donné. On effectue la construction, on donne la marche à suivre, puis on justifie afin de prouver que la droite construite est bien parallèle. On donne une deuxième construction à la fin du film qui vous permettra de compléter les pages 39, 40 et le haut de la page 41 de votre fascicule.

La symétrie centrale

Le film suivant,  concerne la symétrie centrale et apporte des compléments à la section 2, aux pages 42, 43 et 44 du fascicule. Les premières minutes donnent la Proposition 2.1 (comme si vous l’aviez déjà vue, mais ce n’est pas le cas), puis expliquent comment construire l’image d’une figure. Complétez l’illustration de la page 42 soigneusement à la règle et au compas en suivant les indications données dans le film, même si je ne les fais qu’à main levée. Ajoutez ensuite les légendes sur la figure de la page 43 (jusqu’à 3’38”). Vous devez enfin écrire dans vos cahiers la démonstration des pages 43-44 qui correspond aux minutes 4’29”-11’18”.

Théorème de la transversale

Continuons avec un film de 12 minutes sur la notion de transversale et les noms des angles que cela détermine, puis la démonstration du Théorème de la transversale pour lequel nous avons besoin des symétries centrales. Complétez vos fascicules, pages 44-46.

Parallèles et perpendiculaire

Cette vidéo de 11 minutes vous aidera à suivre la théorie et à compléter les pages 46 (illustration de la Proposition 3.4) et 47 (démonstration de la Proposition 4.1).

Parallèles et distance

On arrive bientôt à la fin du cours avec un film de 9 minutes pour comprendre que la distance entre deux parallèles peut être définie en choisissant n’importe quel point sur l’une des deux droites et en regardant à quelle distance il se trouve de l’autre droite. Cette distance ne dépend pas des choix! Complétez la preuve de la page 49.

Les parallèles comme lieu géométrique

Pour finir un film de 4 minutes qui décrit le lieu géométrique des points du plan situés à une distance donnée d’une droite donnée comme étant formé de deux parallèles à cette droite. Faites l’illustration et rédigez la marche à suivre à la page 50.

Série 12 du 25 novembre

Exercice 6. Au point 3 on vous demande de tracer la bissectrice d’un angle, puis de choisir trois points M, N et P sur la bissectrice. Il s’agit ensuite d’abaisser les perpendiculaires de ces points sur les demi-droites qui forment l’angle et de découvrir ainsi de manière expérimentale une propriété de la bissectrice que nous avons démontrée en cours.

Exercice 9. Nous avons déjà fait cet exercice en classe. Le point 1 est peut-être le plus difficile, la partie où je vous demande de prouver que l’image de P est différente de P. Je vous propose de construire P’ le symétrique de P par rapport à la droite a, puis P” le symétrique de P’ par rapport à b. Appelons p la droite perpendiculaire à a et passant par P. C’est la droite PP’ lorsque P ne se trouve pas sur a! Appelons q la droite perpendiculaire à a et passant par P. C’est la droite P’P” lorsque P ne se trouve pas sur b (un dessin sera utile pour suivre et expliquer le raisonnement!). Les droites p et q sont distinctes (explique pourquoi!) mais P se trouve sur p et P” se trouve sur q. La seule manière d’avoir P=P”serait donc que P et P” se trouvent à l’intersection de p et q. Pourquoi cela n’est-il jamais possible? Complète le raisonnement! En classe nous avons traité d’abord le cas où P se trouve sur a, puis avons traité le cas où P ne se trouve pas sur a en remarquant que P’ et P” se trouvent de l’autre côté de la droite a que P.

Pour le point 3, il s’agit donc de démontrer que les points P, O et P” sont alignés. Les explications en classe étaient peut-être un peu confuses et je vous propose de prendre le problème à l’envers. La droite a est la bissectrice de l’angle POP’, considérons maintenant la bissectrice extérieure e de cet angle (bissectrice de la même croix formées des droites OP et OP’, mais des autres angles-plan). Alors la symétrie axiale Se transforme les droites OP en OP’ et OP’ en OP par définition de la bissectrice, elle doit donc transformer l’axe de symétrie a de la croix en a lui-même! Par conséquent e est perpendiculaire à a, il s’agit donc de la droite b. Ce raisonnement permet de conclure que la symétrie Sb transforme P’ en un point de la droite OP.

Le point 4 est facile, il suffit d’utiliser la définition d’isométrie. Pour le point 5, nous demandons de montrer que l’image d’une droite m ne passant par O est une droite parallèle à m. Pour ce faire on s’aidera de la droite parallèle à m et passant par O. Nous savons en effet que cette dernière droite est transformée en elle-même. L’image de m ne pouvant pas être confondue avec m (pourquoi? penser à ce qui se passe avec un point Q de m), on pourra terminer l’exercice.