Les nombres, cours 0

Chapitre 1 sur les ensembles

Vous avez déjà tous vu les vidéos de cette semaine pour préparer le concours d’entrée et travaillé avec ces notions ensemblistes. Lisez aussi le texte du fascicule et complétez le reste avec les quelques compléments.

Film 1: Ensembles et sous-ensembles

Ce film d’une douzaine de minutes introduit les notations ensemblistes, la définition d’égalité pour des ensembles, ainsi que la notion d’ensemble des parties d’un ensemble donné. Cela concerne les pages 3 et 4 du fascicule, jusqu’à la définition 1.2, puis dès la minute 5′ cela concerne l’exemple du haut de la page 4, soyez attentifs! Vers 6’30” on arrive à la Définition 1.4 de la page 5 et à 8’35” c’est la Définition 1.7 de l’ensemble des parties et à 9’35” on termine avec l’Exemple 1.8 qui est à recopier à la page 7.

Propriétés et exemples

Un film de 8 minutes pour les exemples de la page 5 du fascicule, ce qui complète le film d’introduction ci-dessus.

Film 2: Principe de double inclusion

Une vidéo de 7 petites minutes pour expliquer pourquoi et comment on vérifie que deux ensembles sont égaux. Le principe de la double inclusion est la Proposition 1.6 à la page 7. Recopiez la démonstration à l’espace prévu à cet effet (minutes 1’00” – 3’36”). L’exemple qui suit est connu, il fait partie du survol et il n’est pas nécessaire de prendre de notes. La fin du film illustre le même principe de manière géométrique.

Ensemble des parties

Six petites minutes pour revenir sur la notion de partie d’un ensemble et compléter la page 8.

Film 3: La réunion

Un film de 10 minutes présente la notion de réunion de sous-ensembles. Le film commence avec la Définition 2.1 page 8 et continue (1’40”) avec la représentation sous forme de diagramme de Venn à dessiner dans vos fascicules au bas de la page 8. La suite concerne la Proposition 2.3, nous ferons ensemble en classe la démonstration page 9. La dernière illustration dès 5’50” permet de revoir aussi l’ensemble des parties du Film 2. Vous pouvez recopier cet exemple sur la page de gauche à côté de la Proposition 2.3.

Complément sur l’union

Avec 12 minutes de plus on termine l’étude de l’opération d’union, pages 9 et 10.

Film 4: l’intersection

Un film de 7 minutes présente la notion d’intersection de sous-ensembles, il suit de prêt le film précédent sur la réunion. On commence avec la Définition 2.4 et le diagramme de Venn correspondant. On aborde la Proposition 2.6 dès 2’15”. Coloriez les diagrammes de Venn pour comprendre la distributivité, nous n’y reviendrons que rapidement en classe. La dernière illustration dès la minute 6′ reprend l’exemple du Film 3 et permet de revoir encore une fois l’ensemble des parties. Recopiez-le sur la page de gauche!

Compléments sur l’intersection

Et de même pour l’intersection, les pages suivantes jusqu’à la page 12. 9 minutes.

La différence

Au bas de la page 12 on introduit la notion de différence de deux sous-ensembles d’un ensemble donné. La chapitre se termine à la page 13.

Film 5: Un problème résolu

Pour terminer voici un problème résolu (en 9 minutes) à l’aide d’un diagramme de Venn. Un grand classique tiré d’un test!

Serie1 du 26 août 2020

Ex. 6 et Ex. 7. Dans ces deux exercices on part de l’hypothèse (ce qu’on connaît pour résoudre le problème, ce qu’on admet) qu’un carré de côté a cm a une aire de a2 (a fois a). Par exemple un carré de côté 7 a une aire de 49.

Dans l’exercice 7 on pourra non seulement utiliser la formule de l’aire d’un carré, mais aussi celle d’un rectangle qui aura déjà été établie dans l’exercice 6.

Ex. 8. On pourra utiliser ici les notations d’implication vues en classe et également la négation d’une affirmation A (non A), la disjonction (A ou B) et la conjonction (A et B). En mathématiques la disjonction de deux affirmations A et B signifie qu’au moins une des deux affirmations est vraie (soit A, soit B, soit les deux).

Pour la partie (5), Il faut se demander d’un point de vue logique ce que veut dire ce “pas forcément”. Quelle est la proposition qui est fausse dans cet exemple? Mon indication se limitera au fait de vous dire que ce n’est pas l’affirmation D qui est fausse! Essayez donc de commencer une phrase ayant la même signification que celle qui est proposée, mais qui commence par “Il est faux que…” ou “Il n’est pas vrai que…”.

Serie2 du 2 septembre 2020

Principe de la double inclusion. Nous avons montré que si X⊂Y et Y⊂X, alors X=Y. C’est ce qui nous permet d’appliquer le principe dans la pratique pour démontrer que deux ensembles sont égaux. Il faut pourtant aussi expliquer pourquoi la double inclusion caractérise l’égalité, c’est-à-dire prouver que si X=Y, alors X⊂Y et Y⊂X. Ces deux inclusions sont vraies en cas d’égalité parce que si X=Y, alors les éléments de X sont des éléments de Y, donc X⊂Y et de même les éléments de Y sont des éléments de X, si bien que Y⊂X. CQFD.
 

Exercice 1. Pour ne pas être décontenancé par le nombre d’accolades, c’est une bonne idée d’avoir en tête quelques exemples. Considérons par exemple l’ensemble N des entiers naturels. Alors 3 ∈ N, ce qui signifie que 3 est un élément de N. Par contre les accolades dans l’expression {3; 7; 9}  ⊂ N indiquent qu’il s’agit d’un sous-ensemble.

On change de niveau et on se place maintenant dans P(N), l’ensemble des parties de N. Maintenant le sous-ensemble {3; 7; 9} ∈ P(N), car c’est un élément de l’ensemble des parties. Par contre l’ensemble formé de 4 sous-ensemble {{3; 7; 9}; {2; 4}; ∅ ; {100}} ⊂ P(N). Il y a ici deux niveaux d’accolades! Par conséquent, on monte encore au niveau supérieur, {{3; 7; 9}; {2; 4}; ∅ ; {100}} ∈ P(P(N)). On peut évidemment continuer, mais je crois que nous pouvons nous arrêter ici…

Exercice 9. Dans cet exercice on ne demande pas d’utiliser toutes les opérations, ni tous les nombres. Il y a donc en général de nombreuses solutions!

Exercice 11, partie 3. En base seize chaque chiffre représente non pas une unité de 0 à 9, un nombre de dizaines (de 0 à 9), de centaines (de 0 à 9), mais bien sûr

– un nombre d’unités (de 0 à … 15!)
– un nombre de “seizaines” (de 0 à 15)
– un nombre de 256-aines (car 16 fois 16 = 256), mais je crois que ce n’est pas nécessaire d’utiliser des nombres à 3 chiffres dans cet exercice, etc.

Ainsi le nombre 10 (en base 10) s’écrit a en base 16 car nous utiliserons les unités 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f. Le nombre 16 par exemple est constitué d’une seizaine et de zéro unité, c’est donc 10 en base 16! Et 27 alors? Eh bien il n’y a de la place que pour une sizaine et il reste 11 unités si bien qu’en base 16 c’est 1b.

Exercice 12. Pour montrer l’égalité de deux ensembles, on utilise le principe de la double inclusion. Le diagramme de Venn peut aider visuellement à diriger les pas de la démonstration. On commence donc par montrer l’inclusion de X ∩ (Y ∩ Z) dans (X ∩ Y)  ∩ Z. Pour cela on prouve que chaque élément du premier ensemble se trouve dans le second. Soit a un élément de X ∩ (Y ∩ Z). Par définition de l’intersection cet élément a se trouve à la fois dans X et dans Y ∩ Z. Par définition de l’intersection encore une fois, il appartient à X et aussi à Y et à Z. Nous avons fini de décortiquer la signification de l’écriture symbolique, il faut maintenant continuer le raisonnement pour conclure, sans jamais perdre de vue notre objectif!

Je vous laisse conclure la démonstration en démontrant aussi la deuxième inclusion! Aidez-vous des explications ci-dessus et/ou de ce que nous avons vu en classe.