Première année, géométrie plane

Cours 9 du 4 novembre

La vidéo présente nos trois premiers axiomes, ceux de connexion, ainsi que deux exemples de géométries qui vérifient ces axiomes. Ces exemples seront repris dans la série d’exercices! En plus du film je vous demande de lire l’introduction du nouveau fascicule et l’introduction du premier chapitre, jusqu’à la page 6. Nous discuterons des observations que vous aurez faites sur la figure de la page 6 et pour lesquelles il y a de la place en haut de la page 7, puis vous écrirez la démonstration de la Proposition 1.5.

Les exemples présentés dans la deuxième moitié du film ne sont pas à recopier dans les fascicules, vous les retrouverez en fait dans la Série 9 (Exercice 5), alors profitez quand même de bien écouter pour pouvoir faire cet exercice dont nous ne parlerons pas en classe! N’oubliez pas votre matériel de géométrie: règle, compas, crayon gris pointu et pas trop mou. Et comme d’habitude des feuilles de brouillon pour les exercices.

Lisez finalement l’exemple (ou plutôt le contre-exemple) de la géométrie sphérique, Exemple 1.6.

Séparation de la droite en demi-droites

La vidéo qui suit dure 8 minutes et vous permettra de compléter les pages 8 et 9 du fascicule. On parle de droites et de demi-droites, des notations avec les parenthèses [ et ] pour indiquer ce qui se passe avec les extrémités.

Séparation du plan en demi-plans

Un petit film de 6 minutes pour continuer avec l’axiome (S2) de séparation du plan en demi-plans. Il vous permet de compléter les pages 9 et 10, en particulier la preuve de la Remarque 2.3.

Lignes polygonales

Dans cette vidéo de 8 minutes on présente des définitions et des exemples de lignes polygonales et de polygones. Cela concerne la page 11. 

Attention: Il faut corriger la “faute de frappe” de la page 11 où on lira bien sûr “parce que G appartient à [HF” (et non pas [FH).

J’aimerais aussi clarifier une chose que je ne dis pas très clairement me semble-t-il (quand je m’écoute parler dans ce film). Par la suite nos polygones pourraient éventuellement comporter des lignes tendues, mais en aucun cas des segments qui se chevauchent. En particulier une seule ligne tendue ne forme pas un polygone. Si ce n’est pas clair, nous en parlerons en classe!

Les axiomes de distance

Dans ce film de presque 15 minutes je vous ptésente les sept axiomes de distance. Grâce à ces axiomes nous pourrons utiliser une règle graduée dans nos exercices de géométrie. Les axiomes se trouvent dans le fascicule aux pages 12 et 13 et vous compléterez les illustrations et explications.

Double inégalité triangulaire

Cette dernière vidéo du Chapitre 1 présente en 10 minutes la preuve de la Proposition 3.4, à recopier à la page 14.

Serie9 du 4 novembre

Exercice 2. On demande dans la partie 4c) de nommer la droite qui a été construite. Pour ceux qui n’auraient jamais vu cette droite remarquable, il s’agit de la médiatrice.

Exercice 6. Les notations ensemblistes auxquelles il est fait référence sont celles de la deuxième semaine de cours. Intersection (∩), union (∪), etc. Attention d’utiliser les accolades à bon escient pour indiquer quel ensemble on obtient. Par exemple si un ensemble est constitué d’un unique point P, on écrira {P}.

Exercice 10. Pour répondre à la partie 12 il faut se souvenir qu’un point sur une droite détermine deux demi-droites (premier axiome de séparation). Deux demi-droites distinctes peuvent donc avoir deux droites distinctes pour support, mais elles peuvent aussi être supportées par la même droite, soit si elles ont des extrêmités distinctes, soit si elles ont des directions différentes.

Exercice 11. Nous avons commencé cet exercice en classe, j’aimerais revenir ici sur la rédaction et commencer par ajouter l’hypothèse supplémentaire que le point D est distinct de B et de C (comme l’un de vous l’a très justement remarqué, si D = C et qu’ensuite P =D, on aurait une égalité).

On pourra commencer par exemple de la manière suivante (j’indique ici la longueur d’un segment [AB] en écrivant |AB| pour des raisons de facilité d’écriture…):

“Le point D se trouvant entre B et C, nous savons par l’axiome (D4) que |CB| = |CD| + |DB|. Ainsi

|AC| + |CB| = |AC| + |CD| + |DB| > |AD| + |DB|

où l’inégalité stricte provient de deux axiomes. D’abord on obtient une inégalité ≥ en appliquant (D3), l’inégalité triangulaire, au triangle ACD, puis on observe que cette inégalité est stricte par (D4) puisque le sommet C ne se trouve pas entre A et D.”

Ceci termine la première partie de la preuve, je vous laisse rédiger soigneuseument et en détail la deuxième partie qui permettra de montrer que |AD| + |DB| > |AP| + |PB|.

Les séries de chaque semaine sont disponibles en cliquant sur le lien!

Attention, les indications qui suivent datent de 2019! Elles vont être actualisées cette année!

Cours 11 du 20 novembre

Le film de cette semaine ne dure que 6 minutes. Nous y retrouvons la médiatrice et démontrons ses propriétés, abordées très (trop) brièvement en fin de cours. Ces explications ne se trouvent pas dans le fascicule, prenez des notes à la fin de la section étudiée en classe (pages 25 et 26).