Première année, géométrie plane

Les séries de chaque semaine sont disponibles en cliquant sur le lien!

Cours 14 du 11 décembre

Le début du film (2’30”) reprend les quatre règles que la mesure des angles doit satisfaire, la minute suivante introduit les notations utilisées pour un triangle. La démonstration du théorème commence à 3’55”. Il y a ensuite deux minutes pour expliquer l’idée sur une figure, la rédaction de la preuve prend ensuite les cinq dernières minutes du film. Vous avez un test à préparer, je ne vous demande pas de copier cette preuve, nous la ferons ensemble en classe, mais j’aimerais que vous l’ayez déjà écoutée!

MiniSerie13 du 11 décembre

Exercice 3. Nous avons rédigé ensemble en classe la marche à suivre qui permet de construire deux parallèles à une droite donnée d passant par un point donné P. Pour la partie 3 je vous demande de montrer qu’aucun autre point que ceux des droites construites précédemment ne fait partie du lieu géométrique. Pour cela on pourra procéder soit de manière directe (considérer un point X du lieu géométrique et montrer qu’il se trouve sur l’une des deux droites construites) ou par l’absurde (supposer qu’il existe un autre point X et arriver à une contradiction). Dans les deux cas on pourra se servir des axiomes de distance, en particulier l’un disant que la distance entre deux points est nulle si et seulement si ces deux points sont confondus. L’idée dans les deux cas sera de tracer la perpendiculaire à d passant par X, la distance d(X, d) est donnée par définition par la distance entre X et le pied de la perpendiculaire sur la droite d.

Exercice 5. C’est un exercice tiré des livres d’école, il n’est pas difficile et tous devraient savoir le résoudre! Il montre bien, je trouve, l’importance de toujours commencer à réfléchir en faisant un croquis. Il faut donc avoir du papier brouillon et un crayon, de la place sur son bureau!

Exercice 8, 9, 10,11 et 12. Ce sont les exercices de test de l’année passée, profitez de tester vos connaissances en vous exerçant. Ne laissez pas les exercices théoriques de côté, ils sont importants! Vérifiez vos réponses en contrôlant l’axiome de symétrie, la démonstration de la préservation de l’alignement par les isométries, etc.

Cours 13 du 4 décembre

Le film de cette semaine concerne la symétrie centrale et apporte des compléments aux pages 42, 43 et 44 du fascicule. Les premières minutes ont déjà été vues en classe. Ajoutez ensuite les légendes sur la figure de la page 43 (jusqu’à 3’38”). Vous devez enfin écrire dans vos cahiers la démonstration des pages 43-44 qui correspond aux minutes 4’29”-11’18”.

Serie12 du 27 novembre

Exercice 6. Au point 3 on vous demande de tracer la bissectrice d’un angle, puis de choisir trois points M, N et P sur la bissectrice. Il s’agit ensuite d’abaisser les perpendiculaires de ces points sur les demi-droites qui forment l’angle et de découvrir ainsi de manière expérimentale une propriété de la bissectrice que nous avons démontrée en cours.

Exercice 9. Nous avons déjà commencé cet exercice en classe. Le point 1 est peut-être le plus difficile, la partie où je vous demande de prouver que l’image de P est différente de P. Je vous propose de construire P’ le symétrique de P par rapport à la droite a, puis P” le symétrique de P’ par rapport à b. Appelons p la droite perpendiculaire à a et passant par P. C’est la droite PP’ lorsque P ne se trouve pas sur a! Appelons q la droite perpendiculaire à a et passant par P. C’est la droite P’P” lorsque P ne se trouve pas sur b (un dessin sera utile pour suivre et expliquer le raisonnement!). Les droites p et q sont distinctes (explique pourquoi!) mais P se trouve sur p et P” se trouve sur q. La seule manière d’avoir P=P” serait donc que P et P” se trouvent à l’intersection de p et q. Pourquoi cela n’est-il jamais possible? Complète le raisonnement! En classe nous avons traité d’abord le cas où P se trouve sur a, puis avons traité le cas où P ne se trouve pas sur a en remarquant que P’ et P” se trouvent de l’autre côté de la droite a que P.

Pour le point 3, il s’agit donc de démontrer que les points P, O et P” sont alignés. Les explications en classe étaient peut-être un peu confuses et je vous propose de prendre le problème à l’envers. La droite a est la bissectrice de l’angle POP’, considérons maintenant la bissectrice extérieure e de cet angle (bissectrice de la même croix formées des droites OP et OP’, mais des autres angles-plan). Alors la symétrie axiale Se transforme les droites OP en OP’ et OP’ en OP par définition de la bissectrice, elle doit donc transformer l’axe de symétrie a de la croix en a lui-même! Par conséquent e est perpendiculaire à a, il s’agit donc de la droite b. Ce raisonnement permet de conclure que la symétrie Sb transforme P’ en un point de la droite OP.

Le point 4 est facile, il suffit d’utiliser la définition d’isométrie. Pour le point 5, nous demandons de montrer que l’image d’une droite m ne passant par O est une droite parallèle à m. Pour ce faire on s’aidera de la droite parallèle à m et passant par O. Nous savons en effet que cette dernière droite est transformée en elle-même. L’image de m ne pouvant pas être confondue avec m (pourquoi? penser à ce qui se passe avec un point Q de m), on pourra terminer l’exercice.

Cours 12 du 27 novembre

Cette semaine je vous parle de la bissectrice d’un angle. Notre définition de cette objet est donnée en tant qu’axe de symétrie. Nous en montrons l’existence, l’unicité (pour un angle non plat) et proposons une construction à la règle et au compas. Regardez attentivement ce film et posez vos questions en classe, je reviendrai sur cette droite remarquable, mais sans aller dans tous les détails. Le point 1 du film (minute 1’00” – 3’15”) correspond à la Remarque 3.1, ceci est à inscrire dans votre fascicule à la page 34 et concerne les angles plats. Pour le point 2 (minute 3’18”- 4’18”) sur les angles nuls, l’illustration est à faire à la place prévue au bas de la page 34. La construction générale (5’08”-6’05”) est à faire ensuite à la page 35 et la marche à suivre en trois points (6’05” – 7’10”) est à rédiger juste au-dessus. Le reste du film concerne la justification, nous en parlerons ensemble!

Serie11 du 28 novembre

Exercice 3. J’aimerais voir de belles marches à suivre, avec un titre (Marche-à-suivre) et ensuite sur chaque ligne un point de la construction, comme nous l’avons fait en classe.

Exercice 5. On donne deux points A et B, ainsi qu’une droite d. Un point M se trouve sur la droite d. Quel est le lieu géométrique des points d’intersection P des médiatrices des segments [AM] et [BM] lorsque M parcourt d?

On suppose que les points A et B se trouvent de part et d’autre de la droite d. En faisant varier M sur la droite d vous avez dans doute eu l’intuition que les points P parcourent une droite. Cette droite est en fait la médiatrice du segment [AB]. Cette partie pratique de l’exercice étant faite, la partie théorique commence! Il s’agit de montrer que P appartient à la médiatrice. Comment faire? Il faut se souvenir que la médiatrice de [AB]  est le lieu géométrique des points équidistants de A et B. Il suffit donc de montrer que les distances de P à A et de P à B sont égales.

Pour terminer il faudra encore montrer que tous les points de la médiatrice peuvent s’obtenir comme un point P construit de cette façon. Soignez la rédaction et bon travail!

Exercice 6. La rédaction d’une démonstration n’est pas un exercice facile, voici comment je vous propose de procéder.

Reprenons la première partie de cette exercice. On se donne un cercle C (c’est un Gamma majuscule, mais ici ce sera C) et d un diamètre. Je dois démontrer que la symétrie S d’axe d transforme un point de C en un point de C. C’est la première inclusion et je vous laisse faire la deuxième! Pour aborder cette question, je commence par écrire les définitions pour pouvoir travailler avec des notions claires et précises:

1. Le cercle C est le lieu géométrique des points situés à une distance donnée r — le rayon — d’un point donné O — le centre du cercle.
2. Un diamètre d de C est une droite passant par le centre O.
3. La symétrie S d’axe d est la seule isométrie du plan qui fixe d point par point mais qui n’est pas l’identité.

Ceci étant posé, je peux commencer à réfléchir. Souvent le problème se situe plutôt du côté de la formulation que de la compréhension, les observations faites suffisent en fait à conclure, même si on ne le voit pas immédiatement! Au lieu de parler de l’image S(C) qui doit être inclue dans C, je vais porter mon attention sur chaque point du cercle! Soit P un point du cercle C; je dois démontrer que S(P) se trouve encore sur le cercle. J’ai à présent traduit et précisé tous les points, j’espère que la solution vous apparaît?

Comment en effet montrer que S(P) appartient à C? Par le point 1 ci-dessus je dois montrer que d(S(P), O) = r. Or, le point O se trouve sur l’axe de symétrie, n’est-ce pas, par définition de diamètre et c’est le point 2. Par conséquent d(S(P), O) = d(S(P), S(O)).

Nous n’avons pas encore utilisé le point 3… la symétrie S est une isométrie, ce qui veut dire qu’elle préserve les distances! Mais alors d(S(P), S(O)) = d(P, O). Qu’avons nous enfin supposé sur le point P? Il appartient au cercle C et donc par définition du cercle, point 1, d(P, O) = r.

Je vous laisse le soin de conclure!

Cours 11 du 20 novembre

Le film de cette semaine ne dure que 6 minutes. Nous y retrouvons la médiatrice et démontrons ses propriétés, abordées très (trop) brièvement en fin de cours. Ces explications ne se trouvent pas dans le fascicule, prenez des notes à la fin de la section étudiée en classe (pages 25 et 26).

MiniSerie10 du 13 novembre

Exercice 3. On demande dans chaque cas de dessiner toutes les figures obtenues en choisissant deux côtés adjacents. Il y a donc trois polygones à construire pour la première figure, deux pour la deuxième (car le triangle est isocèle) et trois pour la dernière. Prenez des couleurs différentes pour bien distinguer les cas et surtout taillez vos crayons!

Exercice 6. Vérifiez vos réponses avec votre calculette (à laquelle vous n’aurez pas droit pour le test)!

Exercice 7. Les questions théoriques sont résolues dans le cours et dans les séries, vérifiez les solutions. Pour la question (3) vérifiez la réponse en remplaçant m par différentes valeurs et ne faites pas de simplification ou d’amplification fantaisistes que vous ne feriez pas si m était un nombre entier concret (1 ou 2 par exemple).

Exercice 8. Vérifiez vos réponses!

Cours 10 du 13 novembre

Le film de la semaine concerne les transformations géométriques et plus spécialement les isométries. La démonstration qui commence à 5′ est à recopier dans vos fascicules au haut de la page 19. La preuve dure 4 minutes, prenez soin de bien l’écouter, la comprendre et de la recopier soigneusement.

Serie9 du 6 novembre

Exercice 2. On demande dans la partie 4c) de nommer la droite qui a été construite. Pour ceux qui n’auraient jamais vu cette droite remarquable, il s’agit de la médiatrice.

Exercice 6. Les notations ensemblistes auxquelles il est fait référence sont celles de la deuxième semaine de cours. Intersection (∩), union (∪), etc. Attention d’utiliser les accolades à bon escient pour indiquer quel ensemble on obtient. Par exemple si un ensemble est constitué d’un unique point P, on écrira {P}.

Exercice 10. Pour répondre à la partie 12 il faut se souvenir qu’un point sur une droite détermine deux demi-droites (premier axiome de séparation). Deux demi-droites distinctes peuvent donc avoir deux droites distinctes pour support, mais elles peuvent aussi être supportées par la même droite, soit si elles ont des extrêmités distinctes, soit si elles ont des directions différentes.

Exercice 11. Nous avons commencé cet exercice en classe, j’aimerais revenir ici sur la rédaction et commencer par ajouter l’hypothèse supplémentaire que le point D est distinct de B et de C (comme l’un de vous l’a très justement remarqué, si D = C et qu’ensuite P =D, on aurait une égalité).

On pourra commencer par exemple de la manière suivante (j’indique ici la longueur d’un segment [AB] en écrivant |AB| pour des raisons de facilité d’écriture…):

“Le point D se trouvant entre B et C, nous savons par l’axiome (D4) que |CB| = |CD| + |DB|. Ainsi

|AC| + |CB| = |AC| + |CD| + |DB| > |AD| + |DB|

où l’inégalité stricte provient de deux axiomes. D’abord on obtient une inégalité ≥ en appliquant (D3), l’inégalité triangulaire, au triangle ACD, puis on observe que cette inégalité est stricte par (D4) puisque le sommet C ne se trouve pas entre A et D.”

Ceci termine la première partie de la preuve, je vous laisse rédiger soigneuseument et en détail la deuxième partie qui permettra de montrer que |AD| + |DB| > |AP| + |PB|.

Serie8 du 30 octobre

Exercice 4. Il s’agit d’obtenir 1 en additionnant un certain nombre de fractions de type 1/n et en utilisant chaque fraction au plus une fois. Je pense que chacun pourra trouver au moins une manière de le faire avec exactement trois fractions. Visuellement on devra partager un gâteau en trois morceaux, chaque morceau sera un n-ème du gâteau et les valeurs de n ne pourront pas être trop grandes si on veut arriver à 1. On pourra s’aider d’un dessin par exemple. Au lieu d’un gâteau un grand carré sur du papier quadrillé pourra être un bon moyen visuel comme j’ai vu certains le faire en classe! Il y a aussi une solution avec 4 fractions dont le plus grand dénominateur est 12 et une autre avec 4 fractions également, le plus grand dénominateur de cette dernière est 20.

On pourra ensuite essayer d’obtenir 2 mais ma solution utilise 12 fractions, la plus petite étant 1/40… Bonne chance!

Exercices 11 et 12. Il est très important de savoir convertir fraction en nombre à virgule et vice-versa!

Cours 9 du 6 novembre

La vidéo présente nos trois premiers axiomes, ceux de connexion, ainsi que deux exemples de géométries qui vérifient ces axiomes. Ces exemples seront repris dans la série d’exercices! En plus du film je vous demande de lire l’introduction du nouveau fascicule et l’introduction du premier chapitre, jusqu’à la page 6. Les exemples présentés dans la deuxième moitié du film ne sont pas à recopier dans les fascicules, vous les retrouverez en fait dans la série 9 (exercice 5), alors profitez quand même de bien écouter pour pouvoir faire cet exercice dont nous ne parlerons pas en classe! N’oubliez pas votre matériel de géométrie: règle, compas, crayon gris pointu et pas trop mou. Et comme d’habitude des feuilles de brouillon pour les exercices.

Attention, les indications qui suivent datent de 2018! Elles vont être actualisées cette année!

Cours 16 du 16 janvier

Le premier film de cette semaine dure 14 minutes et concerne les rotations. Il n’est pas nécessaire de prendre des notes, seulement de faire l’effort de comprendre les arguments de la preuve. J’aimerais que vous fassiez dans vos fascicules à la page 68 la construction proposée dans le film (médiatrice de [AA’], droite p=OA’) pour que nous puissions nous concentrer en classe sur les explications. La démonstration de la réciproque (la composition de deux symétries axiales dont les axes se coupent est une rotation) se trouve à la page 69, je ne la referai pas en classe car elle ressemble mot pour mot à la preuve que nous avons faite ensemble sur les symétries centrales, est-ce que cela vous rappelle des souvenirs? La Remarque 3.4 qui conclut le film est importante!

Serie15 du 9 janvier

Exercice 2, partie 18. Il s’agit de trouver une formule en fonction de n qui donne le nombre de diagonales. Ne lis la réponse que si tu sèches! C’est (n-3)•n/2. Vérifie que cette formule donne la bonne réponse pour n =3, 4, 5, 6 et essaie de prouver que c’est la bonne formule dans tous les cas!

Exercice 5. Ici aussi un spoiler à ne lire que si tu n’arrives pas à trouver l’astuce qui permet peut-être de débloquer la situation: il y a certains triangles isocèles dans la figure. Ceux-ci permettent de conclure que certains angles sont isométriques. Cherche donc tous les triangles isocèles que tu peux et n’oublie pas que le croquis ne représente pas la situation très fidèlement!

Exercice 8. Compte tenu de la définition d’enveloppe convexe donnée dans l’exercice il s’agit ici de montrer l’égalité grâce au principe de la  double inclusion. Appelons Env(F) l’enveloppe convexe de F et I l’intersection de toutes les figures convexes contenant F.

Comme Env(F) est une figure convexe qui contient F, l’une des deux inclusions est évidente je pense. Laquelle?
Pour l’autre inclusion il reste à montrer que Env(F) est contenu dans toute figure convexe contenant F, et que par conséquent que Env(F) est contenu dans I.
J’espère que soudainement cette partie est devenue facile, peut-être même évidente? Ce qui est peut-être dur c’est qu’il faut bien avoir en mémoire les notions de théorie des ensembles étudiées en septembre… Cet exercice illustre une manière de définir certains objets mathématiques en disant qu’il s’agit du plus petit ou du plus grand objet qui vérifie telle propriété. Nous avons déjà rencontré cette manière de faire (pgdc, ppmc) et nous en verrons bien d’autres!

Exercice 11. Pour donner la marche à suivre on utilisera le fait que f est une isométrie. Il n’est donc jamais nécessaire d’identifier l’isométrie pour construire les images d’autres points si l’on connaît déjà l’image d’un triangle! Si S est un point qui se trouve à distance r de A, alors son image se trouvera obligatoirement à distance r de A‘. Il faut donc commencer par construire le cercle de centre A‘ et de rayon r. On fera de même pour B et pour C.

Exercice 12. Cet exercice illustre le résultat du film pour le cours 16. Il s’agit d’une rotation! Quel est l’angle de cette rotation? C’est le double de l’un des angles que forment les droites a et b.

Exercice 13. Attention à l’ordre des sommets. On demande que l’image de A soit C et l’image de B soit D, exactement comme dans le cours!

Cours 15 du 9 janvier

Ce film concerne la notion de groupe: définition, exemples et contre-exemples, et pour terminer le groupe des isométries du plan. C’est une notion abstraite, il faudra du temps pour l’apprivoiser. Notre but est de comprendre ce qu’est un groupe et nous allons ensuite déterminer en classe le groupe des isométries du plan en nous appuyant sur la description de toute isométrie comme composition de symétries axiales. La composition est justement ce qui donne aux isométries cette structure de groupe.

Serie14 du 19 décembre

Exercice 2. On demande de remplir le tableau en indiquant quel angle est isométrique aux angles proposés. Par exemple l’angle A1 = A3 sur l’illustration. Je vous laisse trouver la justification à écrire dans la dernière colonne et continuer l’exercice.

Exercice 3. 1. Si les points sont alignés, la situation est différente et c’est pourquoi la donnée dit “en général”. En général, lorsque les points ne sont pas alignés, alors il y a trois solutions, car il y a trois manières de construire un centre un symétrie et de rendre la figure symétrique en ajoutant un seul point.

Lorsque les points sont alignés, il faut faire un peu plus attention, c’est un bon exercice de se demander quels sont les cas problématiques!

2. On peut rendre la figure symétrique en ajoutant un seul point! Mais effectivement je vois une manière de rendre la figure symétrique en ajoutant un segment (pas une droite par contre? Attention au fait qu’on demande un CENTRE de symétrie, pas un AXE de symétrie?).

Exercice 4. Avant de commencer je propose de calculer la somme des distances d’un point à deux droites parallèles. On distinguera trois cas selon que le point se trouve entre les deux droites, sur l’une des deux droites ou à l’extérieur de la bande située entre les droites. On aura compris dès lors que le lieu géométrique en question se différencie selon les cas où la somme des distances r est strictement plus petite que la distance d entre les deux droites, égale à d, ou strictement plus grande.

Exercice 10. On peut bien sûr “deviner”, “tomber sur”, ou “trouver” la solution en tâtonnant. Je vous propose ici d’écrire une équation. Appelons x (la mesure de) l’angle cherché. Alors la mesure d’un supplément sera 180 – x, alors que la mesure d’un complément sera 90 – x. Ainsi le problème revient à trouver le nombre x (en degrés) tel que 180 – x = 4 •(90 – x). Il ne reste alors plus qu’à résoudre cette équation.