Fonctions, Cours 4

Définition des fonctions

On commence le Chapitre 4 sur les fonctions avec la mise en place des notations, la définition de ce qu’est une fonction et les premiers exemples à compléter dans le fascicule à la page 35. Une petite vidéo de moins de 7 minutes.

Bien définir une fonction

On continue avec un deuxième film de moins de 7 minutes pour donner plus d’exemples (pages 35 et 36) en mettant l’accent sur les points auxquels il faut faire bien attention pour bien définir une fonction.

Représentation schématique et fonctions injectives

On commence la section 2 avec la définition de la représentation schématique et la notion d’injectivité. Complétez l’exemple page 37 et notre premier exemple numérique page 39. Le film dure 13 minutes.

Fonctions surjectives

On continue avec la notion de surjectivité dans une vidéo de 10 minutes. On étudie soigneusement les exemples de la racine cinquième et une première fonction affine, à rédiger page 39.

Produit cartésien

Un film de 8 minute dans lequel nous introduisons tout le vocabulaire relatif au produit cartésien de deux ensembles X x Y. On ajoutera les exemples de couples de nombres entiers sur le système d’axes de la page 41.

Le graphe d’une fonction

On définit en 7 minutes le graphe d’une fonction et on étudie, pages 40 et 41 le cas de la valeur absolue.

Critères graphiques

Retour sur l’injectivité et la surjectivité d’une fonction, du point de vue de la représentation graphique. C’est la Section 4 et la vidéo dure 7 minutes. Dessinez les graphes qu’on voit dans le film dans l’espace prévu de la page 43, je pense que cela aide bien visuellement pour comprendre la signification de ces droites horizontales dont je vous parle dans le film. La fin du film présente la preuve de ces critères que j’ai déjà rédigé pour vous dans le fascicule. 

La composition

On définit dans ce film de 11 minutes la composition de deux fonctions, page 43, et on donne deux exemples à compléter page 44. L’un est schématique, l’autre concerne des fonctions polynomiales.

La restriction

On explique dans une dernière vidéo de 15 minutes la restriction d’une fonction à un sous-ensemble de l’ensemble de départ. On définit aussi l’ensemble de définition d’une fonction et on montre comment utiliser ces deux idées pour composer des fonctions même quand a priori l’ensemble d’arrivée de la première ne coïncide pas avec l’ensemble de départ de la deuxième.

Serie21 du 10 février

Exercice 3. L’association « traverse » prend une rivière d’Europe, disons le Rhône, et lui associe les villes d’Europe qu’elle traverse. Dans ce cas il s’agira de Brig, Sion, Genève, Montélimar, Valence, Avignon, etc… Est-ce que c’est une fonction? L’image d’une rivière n’est pas bien définie, il y a en général plusieurs villes traversées par une seule et même rivière.

Exercice 5. 2.2.9. Etant donné deux ensembles E et F, on demande de trouver toutes les fonctions f:E → F ou de les compter lorsque les ensembles sont “grands”. Commençons par un exemple qui n’est pas dans la liste de l’exercice, mais plus simple. Supposons que l’ensemble E est constitué d’un seul élément a, E={a}. Si F={g, h}, combien de fonctions y a-t-il de E vers F? Une fonction étant complétement déterminée par l’image de l’élément a, il y a exactement deux fonctions, celle qui envoie a sur g et celle qui envoie a sur h. D’accord?

Que se passe-t-il maintenant si E={a, b}? Une fonction de E vers F est la donnée de deux images, celle de a et celle de b. Or toutes deux peuvent prendre des valeurs arbitraires dans F, soit g, soit h. Il y a donc exactement quatre fonctions E → F. La première, f1 : E → F, est donnée par f1 (a) = g,
f1 (b) = g. La deuxième, f2 : E → F, est donnée par f2 (a) = g, f2 (b) = h. La troisième, f3 : E → F, est donnée par f3 (a) = h, f3 (b) = g. Et la quatrième?

Je vous laisse regarder ce qui se passe si on ajoute encore un élément c à l’ensemble {a, b}. Il y a trois éléments dans l’ensemble de départ qui peuvent prendre n’importe quelle valeur dans F. N’y aurait-il pas 23 fonctions?

Pour terminer l’exercice je vous propose de trouver d’abord une formule qui donne le nombre de fonctions de E vers F en fonction du nombre d’éléments de E et de F, puis de les écrire toutes lorsque cela est demandé. Plutôt que de rédiger un texte comme je le fais ici, je préfère que vous écriviez chaque fonction en notation mathématique, en indiquant par exemple pour la deuxième fonction ci-dessus

f2 : E → F

      a ↦ g

      b ↦ h

en faisant bien attention d’utiliser la flèche simple pour indiquer une fonction et la flèche précédée d’une barre pour indiquer un élèment et son image.

Exercice 8. C’est toujours mieux de justifier, car parfois on répond juste pour des raisons erronées, ou inexactes, ou un peu vagues, et cela vaut la peine de mettre le doigt sur une raison claire et précise. Ici quelques mots suffisent en général. Par exemple pour la première fonction on dira peut-être qu’elle n’est pas surjective car personne dans la classe n’a 346 ans, et qu’elle n’est pas injective non plus car vous êtes plusieurs à avoir 13 ans. Etc.

Exercice 11. (2). La composition cherchée prend un nombre réel x et lui associe d’abord x+1, avant de l’inverser. Ainsi la fonction composée est donnée par la formule 1/(x+1). On demande de calculer le domaine de définition de cette fonction, c’est-à-dire le plus grand sous-ensemble de R pour lequel cette formule définit une fonction. Le seul problème est rencontré en -1, si bien que ED(gof) = R\{-1}.

Exercice 12. c. On demande de dessiner les graphes des trois relations 2), 4) et 6). Pour plus de clarté et pour faciliter la tâche des correcteurs on utilisera trois systèmes d’axes.