Retour, Cours 7

Rapports de section

Pour terminer le Chapitre 7, on explique en 9 minutes trois constructions de rapports de section donnés respectivement par une section, un nombre réel, et finalement un nombre rationnel.

Les similitudes

La première vidéo définit la notion de similitude et ne dure que 5’20”. Elle concerne les pages 80-81 du fascicule.

Les homothéties

La deuxième vidéo introduit les homothéties et les propriétés élémentaires de ces nouvelles transformations du plan, en 12’30”.  Ecrivez la démonstration, très courte, de la Proposition 2.2.

L’effet d’une homothétie sur une droite

On montre ensuite que l’image d’une droite par une homothétie est encore une droite, confondue avec la droite de départ lorsqu’elle passe par le centre, parallèle sinon. En 10’30”. Cette preuve est à compléter à la page 84, sans oublier l’illustration.

Les homothéties sont des similitudes

Nous arrivons enfin à démontrer que les homothéties sont des similitudes! Cette vidéo dure 9’26”. Ajoutez les illustrations dans la marge de la preuve de la Proposition 2.4 à la page 86.

Classification des similitudes

Dans la dernière section nous démontrons le Théorème de classification des similitudes du plan, à recopier à la page 87 des fascicules. La vidéo dure 7 minutes et introduit aussi la notion de figures semblables.

Les trois cas de similitude

Nous finissons le chapitre avec les trois cas de similitudes des triangles qui suivent de près les cas d’isométrie. Le film dur presque 14 minutes et vous aidera à compléter les notes de cours aux pages 88-90.

Serie35 du 19 juin

Exercice 1. Pour montrer ces critères de similitude particuliers, il ne s’agit pas de faire de longues démonstrations, mais de se ramener bien sûr à l’un des trois cas de similitude que nous supposons connus (voir aussi l’exercice 4 et le cours).

Exercice 5. On demande de résoudre cet exercice géométriquement, mais comme nous l’avons vu en classe une solution algébrique est possible dès lors qu’on réalise que le centre D de cette homothétie se trouve sur la droite OI, sur la demi-droite d’extrémité I qui ne contient pas O. J’utilise la notation avec des valeurs absolues pour indiquer la distance entre deux points pour la suite.

En effet la première homothétie de centre O et de rapport 2 envoie D sur un point E tel que |OE| = 2|OD|, la seconde doit renvoyer E sur D mais son rapport étant 1/3 on a 3 |ID| = |IE|.

Or |OE| = |OI| + |IE| et |OD|=|OI| + |ID|. La première égalité devient alors

|OI| + |IE| = 2 (|OI| + |ID|)

Mais en remplaçant |IE| par 3 |ID| on arrive finalement à l’équation

|OI| + 3 |ID| = 2 |OI| + 2 |ID|

si bien que |ID| = |OI|. Le point D se trouve à la même distance de I que O. Ta construction géométrique est-elle précise?

Exercice 8. Il ne faut pas être trop ambitieux et résoudre le problème un pas après l’autre. Supposons par exemple que les rapports indiqués sont égaux, c’est notre hypothèse, et essayons de démontrer que la droite AP est la bissectrice de l’angle en A. L’indication nous propose de tracer la droite parallèle à AC par B, qui coupe AP en un point D. Le fait d’avoir tracé cette parallèle vous fait immédiatement penser au Théorème de Thalès et vous trouvez alors deux triangles semblables. Ces triangles déterminent donc des paires de côtés dont les rapports sont égaux! Pour terminer la preuve il s’agit alors de jouer un peu avec ces rapports et de découvrir un triangle isocèle…

Exercice 10. Tu peux éventuellement t’inspirer des calculs d’Archimède que nous parcourerons en fin de cours la semaine prochaine, voir page 104 du fascicule…