Première année, les nombres

Cours 8 pour le 30 octobre

Dans ce film de 14 minutes nous apprenons à convertir une fraction en écriture décimale et vice-versa. Nous traitons uniquement le cas des nombres périodiques. Le début du film (1’30”) correspond à ce que nous avons déjà fait en classe, p.56. L’exemple qui est donné ensuite (jusqu’à 8’30”) est différent de celui du fascicule (Exemple 2.6), vous pouvez le copier sur la page blanche en regard de la page 56. L’astuce présentée jusqu’à la dixième minute est indiqué aux pages 57-58 et vous copierez les exemples de la fin du film sur la page blanche en regard de la page 58.

MiniSerie7 du 9 octobre

Voici un problème de test concernant les nombres entiers. Sauriez-vous le résoudre?

Un problème (20 points). Sur un circuit miniature deux trains électriques parcourent des trajets différents. Le premier effectue un tour en 1 minute et 45 secondes, le second met 1 minute et 36 secondes. Sachant qu’ils sont partis ensemble de la gare, après combien de temps se retrouveront-ils pour la première fois dans cette gare ? Combien de tours chacun d’eux aura-t-il effectués?

Exercice 5. La réponse (de la question b) en particulier) peut être donnée simplement sous forme de puissance.

Exercice 9. Ne confondons pas l’inverse d’un nombre non nul, qui est “l’inverse pour la multiplication” et l’opposé qui est le nom réservé pour l’addition. Ainsi l’inverse de 4 est 1/4, mais son opposé est -4.

Cours 7 pour le 9 octobre

Dans ce film de 12 minutes je vous parle de l’addition de nombres rationnels. J’aimerais que vous ayez vu la définition et travaillé avec, pour que nous puissions approfondir cela ensemble en classe. Entre 1’45” et 3’00” les explications sont à copier à la page 48. L’exemple de la minute 4′ environ est l’Exemple 3.2 à recopier au haut de la page 49. La démonstration qui commence à la minute 7′ est enfin à écrire au haut de la page 50.

Serie6 du 2 octobre

Exercice 11. Pensez au fait que les carrés à dessiner ne sont pas nécessairement en position standard sur le quadrillage indiqué, mais peuvent être “penchés”.

Exercice 12. On demande de montrer par exemple que la relation introduite sur les fractions est réflexive. Lorsqu’on veut résoudre un tel exercice, on commence par écrire ce qu’on doit démontrer: pour toute fraction a/b, on doit montrer que a/b ~ a/b, c’est-à-dire que la fraction a/b est en relation avec elle-même. A ce stade-là on se dit que c’est complètement évident, mais il faut plonger dans les définitions. Que cela veut-il dire que a/b ~ a/b? Par définition cela signifie que les produits croisés sont égaux: ab = ba. Est-ce que c’est vrai? Oui, par commutativité de la multiplication dans Z. Nous avons maintenant compris que la relation est réflexive, il faut encore le rédiger! Avant de jeter nos feuilles de brouillon, faisons-le.

Soit a/b une fraction arbitraire (a est un nombre entier relatif et b est un nombre entier relatif non nul). Puisque ab=ba par commutativité de la multiplication dans Z, on conclut que les produits croisés des fractions a/b et a/b sont égaux si bien que a/b ~ a/b par définition de la relation ~. La réflexivité est démontrée.

Je vous laisse démontrer et rédiger soigneuseument la symétrie!

Exercice 13. Le but de cet exercice est de comparer des grandeurs grâce à l’échelle indiquée sur le dessin. Si on choisit par exemple le point D en a) on mesure 5,6cm de l’origine. Comme le 1 est placé à 9,3cm on en conclut que D se trouve aux 5,6/9,3, ce qui fait environ 0,6. J’ai utilisé ici la barre / pour indiquer une fraction de nombres rationnels, c’est-à-dire une division dans Q. Ce n’est pas la précision qui importe, mais le principe!

Cours 6 pour le 2 octobre

Dans ce film de 13 minutes nous définissons les fractions et l’équivalence de fractions. J’aimerais que vous lisiez la page 39 du cours, que vous étiquetiez le diagramme de Venn page 40, puis que vous complétiez le milieu de la page 40 avec les informations données à partir de 3’10”. La démonstration qui commence à la 8ème minute est à recopier dans le fascicule à la page 41, c’est le Lemme 1.2. Je reviendrai sur la transitivité, mais j’irai probablement un peu plus vite et me contenterai de répondre à vos questions. Il est donc important de déjà comprendre et recopier aussi cette dernière partie!

Serie5 du 25 septembre

Exercice 5. Il s’agit de montrer l’inégalité triangulaire: la valeur absolue d’une somme de nombres entiers relatifs est plus petite (ou égale) à la somme des valeurs absolues de ces nombres. Pas de surprise ici, il faut distinguer quatre cas selon le signe de chacun des nombres a et b. Lorsqu’ils ont le même signe, ce n’est pas compliqué, je vous laisse faire! Regardons le cas intéressant où a et b ont des signes distincts, disons a est négatif et b positif. Alors il existe des nombres naturels m et n tels que a = (-m) et b=(+n). Il est facile de calculer

|a| + |b| = (+m) + (+n) = +(m+n)

Il faut encore calculer |a+b| = |(-m) + (+n)| et pour cela il faut distinguer deux sous-cas. En effet, si m≥ n, alors |a+b| = +(m-n), alors que sinon  |a+b| = +(n-m). Dans les deux cas cette valeur absolue est plus petite que la somme des valeurs absolues. En effet +(m-n)≤+(m+n) puisque +(m-n)≤m≤+(m+n).

Je vous laisse rédiger la suite! Bon travail!

Exercice 7. L’opposé du nombre a+b est -(a+b). On vous demande de montrer que c’est aussi -a-b. Comment vérifier cela? Par définition l’opposé d’un nombre x est le seul nombre c ayant la propriété que x+c=0. Il faut donc vérifier que

(a+b) + (-a-b) = 0

Il n’est pas nécessaire de séparer les cas selon le signe des nombres a et b. Par exemple pour démontrer que

-(a-b) = -a + b

il faut vérifier que -a +b est bien l’opposé de (a-b). Comment fait-on cela? L’opposé d’un nombre x étant le seul nombre c qui a la propriété que x+c = 0, il faut donc prouver que

(a-b) + (-a +b) = 0

Pour cela on peut utiliser toutes les propriétés de l’addition que nous avons déjà vues: commutativité, associativité, opposé, élément neutre.

Cours 5 pour le 25 septembre

Complétez les pages 28-30 du fascicule à l’aide des explications de ce film de 16 minutes. On y définit l’addition pour les nombres entiers relatifs et on y explique comment démontrer l’associativité de l’addition. Jusqu’à la minute 10 cela concerne la remarque du bas de la page 28/ haut de la page 29, puis il s’agit de la démonstration de l’associativité de l’addition que vous recopierez à la page 30. Idéalement il devrait rester un peu de place pour que nous parlions de la commutativité: a+b = b+a.

Serie4 du 18 septembre

En général. N’oubliez pas de décomposer les grands nombres en produits de puissances de nombres premiers pour vous aider à trouver les pgdc, ppmc, etc.

Exercice 2. Justifie brièvement ta réponse lorsque la réponse est “vrai”. Par exemple lorsqu’on demande si l’affirmation “m|n ou m|p” implique “m|np“, il suffit de se référer à la définition de la divisibilité. Comme il y a un “ou” il y a deux cas à distinguer. Supposons que m|n, l’autre cas est similaire. Alors il existe un entier k tel que n=mk. Ainsi np = mkp est aussi un multiple de m, i.e. m|np.

Exercice 4. Pour trouver tous les diviseurs communs de deux nombres donnés “à l’aide du pgdc”, comme indiqué, il faut retrouver dans le cours un résultat important. Celui-ci nous dit que tous les diviseurs communs de m et n sont les diviseurs du pgdc. Conclusion: on commence par calculer le pgdc (par exemple en utilisant le Théorème fondamental de l’arithmétique), puis on établit la liste de ses diviseurs.

Exercice 9, (2). Encore une application de ce théorème! Pour démontrer la relation observée, il faudra écrire le nombre acomme produit (p1)r1• (p2)r2 • … • (pk)rk. De même b = (p1)s1• (p2)s2 • … • (pk)sket les pisont des nombres premiers et les exposants risont des entiers naturels plus grands ou égaux à zéro. Pour se simplifier la vie on se permet des puissances nulles pour pouvoir faire apparaître les mêmes nombres premiers dans la décomposition de aet de b! Cette astuce devrait vous aider à rédiger une démonstration courte.

Cours 4 pour le 18 septembre

Pour le 18 septembre, je vous demande de regarder un petit film de 6 minutes sur le Théorème d’Euclide. Ecrivez la preuve dans vos fascicules à la page 25 pour le début et la page 26 pour la suite si nécessaire. Nous ne referons pas la preuve ensemble, mais vous pouvez poser des questions! Il est très important de prendre le temps de faire cela avant le cours, il me semble avoir vu des fascicules mercredi passé qui comportaient des pages blanches. Dans ce cas il sera très difficile de trouver les bonnes informations pour résoudre les exercices et de réviser pour les tests!

MiniSerie3 du 11 septembre

Il existe .. pour tout/ Pour tout … il existe. Lorsqu’on pose une question comme la suivante, il faut bien analyser la phrase du point de vue mathématique:

Il existe un entier naturel m tel que, pour tout entier naturel n, on a m>n.

On se demande donc, en français cette fois, s’il existe un entier qui est plus grand que tous les autres. C’est faux bien entendu. Comment peut-on le démontrer? Supposons par l’absurde que m existe. Comme il doit être plus grand que tout entier n, il doit être en particulier plus grand que m+1. Mais ceci est impossible car l’affirmation m>m+1 est fausse. L’hypothèse était donc absurde! L’entier m n’existe pas.

Exercice 3 (1). On demande de montrer que l’ensemble des parties d’un ensemble X forme un semi-anneau commutatif. J’ai remarqué pendant la séance d’exercices que vous êtes probablement nombreux à ne pas être à l’aise avec cette définition. Et cela me donne aussi l’occasion d’insister sur le fait qu’il est extrêmement important de relire le cours pour faire les exercices! A mon avis voici comment il faudrait approcher un problème pour lequel vous n’avez pas beaucoup d’intuition, un exercice qui pose problème.

1. Lire attentivement la donnée. Ici il faut identifier précisément le problème: c’est la notion de semi-anneau commutatif.

2. Chercher dans le cours des éléments qui se rapportent à la difficulté identifiée. Ici on trouvera la définition de semi-anneau commutatif au bas de la page 18-haut de la page 19. La lecture de cette définition est importante!

3. Appliquer les éléments du cours dans la situation particulière. Ici la définition de semi-anneau commutatif commence ainsi: il s’agit d’un ensemble X qui est muni de deux opérations appelées * et o, alors que dans l’exercice je vous demande de vérifier que l’ensemble des parties P(X) forme un semi-anneau commutatif pour les opérations ∪ (union) et ∩ (intersection). Par conséquent il s’agit de remplacer dans la définition du cours chaque * par ∪ et chaque o par ∩!

4. Faire l’exercice une fois que les éléments se sont mis en place! Commençons (et je vous laisse terminer ensuite). Le premier point de la définition dit que * est associatif et aussi o est associatif. Dans notre cas cela signifie que ∪ et ∩ sont associatifs. Plus précisément il faut montrer que

A ∪ (B∪C) = (A∪B)∪C pour tous sous-ensembles A,B, C de X, et aussi que

A ∩ (B∩C) = (A∩B)∩C pour tous sous-ensembles A,B, C de X.

Comment vérifie-t-on cela? Dans la donnée de l’exercice je vous demande de ne pas démontrer ces propriétés mais de trouver dans le cours où nous avons déjà vu ces propriétés. C’est donc à nouveau un exercice de relecture du cours! Je trouve les propositions importantes aux pages 10 et 11. Ce que j’attends de vous est donc simplement une justification du type suivant:

(1) Associativité. Par la Proposition 2.3 (2) A ∪ (B∪C) = (A∪B)∪C pour tous sous-ensembles A,B, C de X.

Par la Proposition 2.6 (2) A ∩ (B∩C) = (A∩B)∩C pour tous sous-ensembles A,B, C de X.

Et voilà, on peut passer au point (2), la commutativité…

Retour sur l’ensemble des parties. C’est sûrement le point le plus dur de ce début d’année, mais, si tu as compris la définition de P(X), alors celle de P(P(X)) ne devrait pas te poser de problèmes puisqu’il s’agit simplement de l’ensemble des parties d’un ensemble que tu connais, à savoir P(X).

Principe: Si X est un ensemble dont les éléments sont a, b, c, etc., alors les éléments de P(X) sont des parties de X, autrement dit des sous-ensembles contenant certains éléments de X. On les écrit donc avec des accolades, par exemple {a} pour une partie de X qui n’est constituée que d’un élément, {a, c} pour une partie de X faite de deux éléments, etc.

Passage au niveau supérieur: On remplace X par P(X) et on cherche à comprendre P(P(X)), l’ensemble des parties de l’ensemble des parties de X. Les éléments de P(P(X)) sont donc des ensembles qui contiennent des sous-ensembles de X.
Nous sommes donc obligés d’utiliser deux niveaux d’accolades.

Supposons par exemple que X est l’ensemble {Terre, Lune}. Alors P(X) est l’ensemble des sous-ensembles de X, c’est-à-dire l’ensemble contenant l’ensemble vide ∅, les ensembles {Terre}, {Lune} qui ne contiennent qu’un élément, et enfin {Terre, Lune}. Ainsi

P(X) = {∅,  {Terre}, {Lune} , X} est constitué de quatre sous-ensembles.

Passage au niveau supérieur: les éléments de P(P(X)) sont par définition tous les sous-ensembles de P(X) = {∅,  {Terre}, {Lune} , X}. Classons-les systématiquement, pour être sûrs de ne pas en oublier, en fonction du nombre d’éléments qu’ils contiennent. Attention! L’ensemble vide ne contient aucun élément, mais l’ensemble qui ne contient que l’ensemble ∅ de P(X) contient bien un élément. Il faut ici rester systématique et ne pas s’emmêler les pinceaux à cause de la langue française qui nous joue des tours. L’élément ∅ est un élément parmi d’autres de P(X) si bien que {∅} est une partie de P(X) qui contient un unique élément. Allons-y:

zéro: ∅

un: {∅}, {{Terre}}, {{Lune}}, {X}

deux: {∅, {Terre}}, {∅, {{Lune}}, {∅, X}, {{Terre},{Lune}}, {{Terre}, X}, {{Lune}, X}

trois: {∅, {Terre}, {Lune}},  {∅, {Terre}, X}, {∅, {Lune}, X}, {{Terre}, {Lune}, X}

quatre: P(X)

Et voilà. Pour être sûr de n’oublier aucune partie, j’ai pris les éléments dans l’ordre. Par exemple ceux de trois éléments sont les ensembles qui ne contiennent pas X, puis pas {Lune}, puis pas {Terre}, et enfin pas ∅.

Une idée: Pour ne pas se laisser décontenancer par les accolades donnons un autre nom aux éléments de P(X). Au lieu de les écrire ∅, {Terre}, etc, je remplace ∅ par x, {Terre} par y, {Lune} par z et X={Terre, Lune} par t. Avec cette nouvelle notation P(X) = {x, y, z, t}. Par conséquent P(P(X)) est constitué de l’ensemble vide ∅, de {x}, {y}, etc. On écrit les 16 éléments de P(P(X)) avec cette notation et on retourne à la notation originale à la fin. Par exemple la partie {y, z, t} correspond à {{Terre}, {Lune}, X}.

Cours 3 pour le 11 septembre

Cette semaine commence avec un devoir de lecture: la page 14 du fascicule, première page du Chapitre 2. Regardez attentivement les propriétés et leurs noms, remarquez l’analogie avec ce que nous avons vu pour les ensembles.

Le film de cette semaine dure 14 minutes et concerne les pages 19-21 sur le plus petit multiple commun. Mon but est de vous donner les notions nécessaires à pouvoir suivre une démonstration importante de ce troisième cours. En haut de la page 20 vous devrez copier le diagramme de Venn avec les multiples de 3 et de 5 que vous rencontrerez dès la minute 3 du film. Nous parlerons ensemble de ce qui vient au bas de la page 20. La démonstration à écrire sur la page 21 commence à la minute 9′. Recopiez-la pour que nous puissions en classe répondre aux questions, expliquer l’idée de la preuve, sans devoir écrire la preuve dans son intégralité!

Serie2 du 5 septembre

Principe de la double inclusion. Nous avons montré que si X⊂Y et Y⊂X, alors X=Y. C’est ce qui nous permet d’appliquer le principe dans la pratique pour démontrer que deux ensembles sont égaux. Il faut pourtant aussi expliquer pourquoi la double inclusion caractérise l’égalité, c’est-à-dire prouver que si X=Y, alors X⊂Y et Y⊂X. Ces deux inclusions sont vraies en cas d’égalité parce que si X=Y, alors les éléments de X sont des éléments de Y, donc X⊂Y et de même les éléments de Y sont des éléments de X, si bien que Y⊂X. CQFD.

Exercice 1. Pour ne pas être décontenancé par le nombre d’accolades, c’est une bonne idée d’avoir en tête quelques exemples. Considérons par exemple l’ensemble N des entiers naturels. Alors 3 ∈ N, ce qui signifie que 3 est un élément de N. Par contre les accolades dans l’expression {3; 7; 9}  ⊂ N indiquent qu’il s’agit d’un sous-ensemble.

On change de niveau et on se place maintenant dans P(N), l’ensemble des parties de N. Maintenant le sous-ensemble {3; 7; 9} ∈ P(N), car c’est un élément de l’ensemble des parties. Par contre l’ensemble formé de 4 sous-ensemble {{3; 7; 9}; {2; 4}; ∅ ; {100}} ⊂ P(N). Il y a ici deux niveaux d’accolades! Par conséquent, on monte encore au niveau supérieur, {{3; 7; 9}; {2; 4}; ∅ ; {100}} ∈ P(P(N)). On peut évidemment continuer, mais je crois que nous pouvons nous arrêter ici…

Exercice 9. Dans cet exercice on ne demande pas d’utiliser toutes les opérations, ni tous les nombres. Il y a donc en général de nombreuses solutions!

Exercice 11, partie 3. En base seize chaque chiffre représente non pas une unité de 0 à 9, un nombre de dizaines (de 0 à 9), de centaines (de 0 à 9), mais bien sûr

– un nombre d’unités (de 0 à … 15!)
– un nombre de “seizaines” (de 0 à 15)
– un nombre de 256-aines (car 16 fois 16 = 256), mais je crois que ce n’est pas nécessaire d’utiliser des nombres à 3 chiffres dans cet exercice, etc.

Ainsi le nombre 10 (en base 10) s’écrit a en base 16 car nous utiliserons les unités 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f. Le nombre 16 par exemple est constitué d’une seizaine et de zéro unité, c’est donc 10 en base 16! Et 27 alors? Eh bien il n’y a de la place que pour une sizaine et il reste 11 unités si bien qu’en base 16 c’est 1b.

Exercice 12. Pour montrer l’égalité de deux ensembles, on utilise le principe de la double inclusion. Le diagramme de Venn peut aider visuellement à diriger les pas de la démonstration comme nous l’avons vu en classe. On commence donc par montrer l’inclusion de X ∩ (Y ∪ Z) dans (X ∩ Y) ∪ (X ∩ Z). Pour cela on prouve que chaque élément du premier ensemble se trouve dans le second. Soit a un élément de X ∩ (Y ∪ Z). Par définition de l’intersection cet élément a se trouve à la fois dans X et dans Y ∪ Z. Par définition de la réunion, il appartient à X et aussi à Y ou Z. Qu’est-ce que cela veut dire? Cela signifie que a appartient soit à X et Y, soit à X et Z. Par définition de l’intersection notre ami a appartient donc à X ∩ Y ou X ∩ Z. Enfin, par définition de la réunion on a bien que a ∈ (X ∩ Y) ∪ (X ∩ Z).

Je vous laisse conclure la démonstration en démontrant de la même façon la deuxième inclusion! Aidez-vous des explications ci-dessus et/ou de ce que nous avons vu en classe.

Cours 2 pour le 4 septembre

Vous avez déjà tous vu les vidéos de cette semaine pour préparer le concours d’entrée et travaillé avec ces notions ensemblistes. Lisez aussi le texte du fascicule.

Film 1: Ensembles et sous-ensembles

Ce film d’une douzaine de minutes introduit les notations ensemblistes, la définition d’égalité pour des ensembles, ainsi que la notion d’ensemble des parties d’un ensemble donné. Cela concerne les pages 3 et 4 du fascicule, jusqu’à la définition 1.2, puis dès la minute 5′ cela concerne l’exemple du haut de la page 4, soyez attentifs! Vers 6’30” on arrive à la Définition 1.4 de la page 5 et à 8’35” c’est la Définition 1.7 de l’ensemble des parties et à 9’35” on termine avec l’Exemple 1.8 qui est à recopier à la page 7.

Film 2: Principe de double inclusion

Une vidéo de 7 petites minutes pour expliquer pourquoi et comment on vérifie que deux ensembles sont égaux. Le principe de la double inclusion est la Proposition 1.6 à la page 7. Recopiez la démonstration à l’espace prévu à cet effet (minutes 1’00” – 3’36”). L’exemple qui suit est connu, il fait partie du survol et il n’est pas nécessaire de prendre de notes. La fin du film illustre le même principe de manière géométrique.

Film 3: La réunion

Un film de 10 minutes présente la notion de réunion de sous-ensembles. Le film commence avec la Définition 2.1 page 8 et continue (1’40”) avec la représentation sous forme de diagramme de Venn à dessiner dans vos fascicules au bas de la page 8. La suite concerne la Proposition 2.3, nous ferons ensemble en classe la démonstration page 9. La dernière illustration dès 5’50” permet de revoir aussi l’ensemble des parties du Film 2. Vous pouvez recopier cet exemple sur la page de gauche à côté de la Proposition 2.3.

Film 4: l’intersection

Un film de 7 minutes présente la notion d’intersection de sous-ensembles, il suit de prêt le film précédent sur la réunion. On commence avec la Définition 2.4 et le diagramme de Venn correspondant. On aborde la Proposition 2.6 dès 2’15”. Coloriez les diagrammes de Venn pour comprendre la distributivité, nous n’y reviendrons que rapidement en classe. La dernière illustration dès la minute 6′ reprend l’exemple du Film 3 et permet de revoir encore une fois l’ensemble des parties. Recopiez-le sur la page de gauche!

Film 5: Un problème résolu

Pour terminer voici un problème résolu (en 9 minutes) à l’aide d’un diagramme de Venn. Un grand classique tiré d’un test!

Serie1 du 29 août

Ex. 6 et Ex. 7. Dans ces deux exercices on part de l’hypothèse (ce qu’on connaît pour résoudre le problème, ce qu’on admet) qu’un carré de côté a cm a une aire de a2 (a fois a). Par exemple un carré de côté 7 a une aire de 49.

Dans l’exercice 7 on pourra non seulement utiliser la formule de l’aire d’un carré, mais aussi celle d’un rectangle qui aura déjà été établie dans l’exercice 6.

Ex. 8. On pourra utiliser ici les notations d’implication vues en classe et également la négation d’une affirmation A (non A), la disjonction (A ou B) et la conjonction (A et B). En mathématiques la disjonction de deux affirmations A et B signifie qu’au moins une des deux affirmations est vraie (soit A, soit B, soit les deux).

Pour la partie (5), Il faut se demander d’un point de vue logique ce que veut dire ce “pas forcément”. Quelle est la proposition qui est fausse dans cet exemple? Mon indication se limitera au fait de vous dire que ce n’est pas l’affirmation D qui est fausse! Essayez donc de commencer une phrase ayant la même signification que celle qui est proposée, mais qui commence par “Il est faux que…” ou “Il n’est pas vrai que…”.

Cours 1 du 29 août

Pour que nous puissions bien profiter de cette première leçon je vous demande de regarder les trois vidéos qui couvrent tout le cours de cette première semaine du cours Euler et que vous trouverez sur la page d’accueil. Les propriétés de divisibilité, le Théorème de Pythagore et le graphe des fonctions affines. Complétez vos notes de cours en regardant les films, notez vos questions!

Attention

Le contenu ci-dessous date de l’année scolaire précédente, il risque de changer un peu. Par contre les films restent les mêmes et chacun est le bienvenu de les regarder en avance!