Géométrie, Cours 7

Isométries et images de triangles

Dans cette première vidéo, de 10 minutes, nous revoyons ensemble la preuve du lemme 2.1 vue dans le test: une isométrie qui fixe seulement trois points non alignés fixe tous les points du plan. On continue avec la conséquence, Lemme 2.3, dont la preuve est à recopier page 64.

Segments isométriques

Dans la vidéo suivante, 12 minutes, nous commençons la preuve du Lemme 2.5 qui concerne deux segments isométriques. Combien d’isométries transformant l’un en l’autre existe-t-il? Seulement deux et nous les construisons comme composition de symétries axiales. La preuve de l’existence d’une telle isométrie est à écrire pages 65-66.

Segments isométriques, suite

On passe ensuite à la deuxième partie de la preuve, c’est-à-dire le fait qu’il existe exactement deux isométries qui transforment un segment donné en un autre segment donné de même longueur. Le début de la preuve se trouve sur la page 66 et la fin est à écrire page 67. Le tout dure 6 minutes.

Le théorème de classification

Dans ce film de 8 minutes on montre enfin le Théorème de classification des isométries du plan. Grâce aux préparatifs, cela ne dure que 3 minutes et on recopiera cela à la page 67. On termine cette vidéo de 8 minutes avec un complément sur la surjectivité des isométries, à recopier sur la page de gauche dans vos fascicules.

Les rotations

Ce film dure 13 minutes et concerne les rotations. J’aimerais que vous fassiez dans vos fascicules à la page 68 la construction proposée dans le film (médiatrice de [AA’], droite p=OA’) et que vous recopiez la partie manquante de la preuve juste en dessous. La démonstration de la réciproque qui commence ensuite (la composition de deux symétries axiales dont les axes se coupent est une rotation) se trouve à la page 69, elle ressemble mot pour mot à la preuve que nous avons faite ensemble sur les symétries centrales, est-ce que cela vous rappelle des souvenirs?

Construction des axes

Dans cette vidéo de 7 minutes, on parcourt ensemble la Remarque 3.4 de la page 69. Elle explique la marche à suivre importante pour trouver dans la pratique les axes de symétries des deux symétries dont la composition donne la rotation étudiée. On continue ensuite à la page 70 avec une conséquence dont la preuve est déjà rédigée dans vos fascicules.

L’orientation des angles

Encore un film de 7 minutes sur les angles orientés et comment ils apparaissent dans la description des rotations.

 Caractérisation des rotations

Dans le dernier film, presque 12 minutes, on arrive enfin à décrire une rotation par son centre et son angle orienté. Après ces explications, on montre un exemple standard où il s’agit de trouver le centre et l’angle – orienté – d’une rotation donnée par un triangle et son image. Faites les constructions soigneusement à la règle et au compas!

Serie15 du 16 décembre

Exercice 2, partie 18. Il s’agit de trouver une formule en fonction de n qui donne le nombre de diagonales. Ne lis la réponse que si tu sèches! C’est (n-3)•n/2. Vérifie que cette formule donne la bonne réponse pour n =3, 4, 5, 6 et essaie de prouver que c’est la bonne formule dans tous les cas!

Exercice 5. Ici aussi un spoiler à ne lire que si tu n’arrives pas à trouver l’astuce qui permet peut-être de débloquer la situation: il y a certains triangles isocèles dans la figure. Ceux-ci permettent de conclure que certains angles sont isométriques. Cherche donc tous les triangles isocèles que tu peux et n’oublie pas que le croquis ne représente pas la situation très fidèlement!

Exercice 8. Compte tenu de la définition d’enveloppe convexe donnée dans l’exercice on peut montrer l’égalité grâce au principe de la  double inclusion. Appelons Env(F) l’enveloppe convexe de F et I l’intersection de toutes les figures convexes contenant F.

Comme Env(F) est une figure convexe qui contient F, l’une des deux inclusions est évidente je pense. Laquelle? Pour l’autre inclusion il reste à montrer que Env(F) est contenu dans toute figure convexe contenant F, et que par conséquent que Env(F) est contenu dans I.

J’espère que soudainement cette partie est devenue facile, peut-être même évidente? Ce qui est peut-être dur c’est qu’il faut bien avoir en mémoire les notions de théorie des ensembles étudiées en septembre… Cet exercice illustre une manière de définir certains objets mathématiques en disant qu’il s’agit du plus petit ou du plus grand objet qui vérifie telle propriété. Nous avons déjà rencontré cette manière de faire (pgdc, ppmc) et nous en verrons bien d’autres!

Exercice 10. Cet exercice complète la preuve de la Proposition 1.5 page 62. Il faut donc expliquer en détail les raisons qui font que l’inverse d’une isométrie est encore une isométrie.

Exercice 11. Cet exercice illustre le résultat du film sur les rotations. Quel est l’angle de cette rotation? C’est le double de l’un des angles que forment les droites a et b.

Série 16 du 6 janvier

Exercice 1. Pour donner la marche à suivre on utilisera le fait que f est une isométrie. Il n’est donc jamais nécessaire d’identifier l’isométrie pour construire les images d’autres points si l’on connaît déjà l’image d’un triangle! Si S est un point qui se trouve à distance r de A, alors son image se trouvera obligatoirement à distance r de A‘. Il faut donc commencer par construire le cercle de centre A‘ et de rayon r. On fera de même pour B et pour C.

Exercice 2. Attention à l’ordre des sommets. On demande que l’image de A soit C et l’image de B soit D, exactement comme dans le cours!

Exercice 8. Dans cet exercice et dans d’autres on demande de choisir judicieusement l’un des axes de symétrie parmi les deux symétries qui composent une rotation. Qu’avons-nous vu en cours? On peut choisir le premier axe de manière arbitraire, pourvu bien sûr qu’il passe par le centre de rotation O. Disons que nous avons choisi un axe a. Comment trouver ensuite l’axe de la deuxième symétrie? Il suffit pour cela de choisir un point A sur a différent de O, de construire (avec le compas et la règle) l’image A’ de ce point par la rotation. L’axe b sera alors nécessairement la médiatrice du segment [AA’] puisque la composition des deux symétries Sb o Sa emmène A sur A’.

Et si on préfère choisir le deuxième axe d’abord, disons b? Il faut alors choisir pour a la médiatrice de [B’B]B est un point de b différent de O et B‘ est la préimage de B par R, c’est-à-dire que R(B’) = B.

Enfin, pour comprendre pourquoi R’o R est une rotation, il faut justement bien choisir les axes des symétries qui permettent de décrire l’une des deux rotations, par exemple R’. En effet si on écrit R’o R = Sd o Sc o Sb o Son ne voit rien… Par contre choisissons b comme axe de la première symétrie, si bien qu’il existe une droite e, passant également par O, telle que R’ = Sd o Sb . Je vous laisse calculer R’o R!