Fonctions, Cours 8

Les affirmations

Une petite vidéo de 7 minutes à peine pour le début du chapitre. Elle concerne les affirmations et vous permettra de compléter la page 77 du fascicule.

Disjonction et Conjonction

Dans ce film de 10 minutes nous introduisons la notion de conjonction et de disjonction d’affirmations. Remplissez les tables de vérité à la page 78 et complétez les exemples à la fin de cette première section.

L’implication

Une vidéo de 12 minutes pour la Section 2. J’y présente l’implication sous une forme ensembliste. Nous revenons aussi à l’équivalence d’une implication et de sa contraposée, un fait illustre par un joli raisonnement sur les nombres premiers qui sont sommes de deux carrés. Pages 79-81.

La récurrence

Ce film dure une douzaine de minutes et concerne le raisonnement par récurrence, Section 3. Il faut prendre des notes sur l’Exemple 3.2 qui se trouve en page 82 et est décrit en détail entre les minutes 4′ et 10′ environ. Il est important de se familiariser avec cette nouvelle méthode de démonstration et de se rendre compte des dangers de ne pas initialiser la récurrence, comme expliqué dans la Remarque 3.3.

Les dangers de la récurrence

Ce film de 7 minutes concerne la Section 4 du dernier chapitre, pages 82-84. Il décrit d’autres dangers de la récurrence que celui que nous avons rencontré à la fin du film précédent. Complétez vos fascicules en suivant la vidéo.

Les coefficients binomiaux

Dans ce film d’un peu moins de 9 minutes nous définissons les coefficients binomiaux, effectuons quelques calculs pour se familiariser avec eux et présentons le triangle de Pascal. Ceci vous permettra de compléter et lire les pages 84-85 du fascicule. On se prépare mentalement au fait que ces coefficients binomiaux vont apparaître comme coefficients du développement du polynôme (x+y)n.

La formule pour (x+y)n.

Cette vidéo de 14 minutes concerne les dernières pages du fascicule sur les fonctions! On commence par lire l’énoncé page 84, puis on passe à la page 86 pour l’initialisation de la récurrence. Entre les minutes 6’30” et 12’30” j’illustre le pas de récurrence général décrit dans la preuve page 86 dans le cas où n=4. Vous pouvez recopier cela à la dernière page (blanche). A la fin du film j’indique enfin comment calculer les coefficients binomiaux par une formule qui se passe du triangle de Pascal, c’est la Remarque 5.2.

Série 26 du 24 mars

Dans cette série les exercices les plus difficiles sont ceux qui concernent la récurrence.

Exercice 6. On prétend qu’il faut f(n) = n(n+1)(2n+1)/6 cubes de pierre pour construire une pyramide de base carrée n x n. Vous avez sûrement tous vérifié que cette formule donne la bonne réponse pour n=1 (il faut 1 seul cube), n=2 (il faut 5 cubes, 4 pour la base et 1 pour le 1er étage) et n=3 ( il faut 14 cubes en tout, 9 pour la base, 4 pour le 1er étage et encore un au sommet).

Pour montrer par récurrence que la formule est vraie pour tout entier n, on suppose donc que la formule est vraie pour une pyramide d’au plus n étages et nous devons montrer qu’alors la formule est aussi vraie pour une pyramide de n+1 étages. Combien faut-il de cubes pour une telle pyramide?

Il en faut (n+1)2 pour la base et comme on pose sur cette base une pyramide de n étages, on déduit de l’hypothèse de récurrence que nous avons besoin du nombre suivant de cubes:

(n+1)2 + n(n+1)(2n+1)/6 = (n+1)[n+1 + n(2n+1)/6] = (n+1)[6n+6 +n(2n+1)]/6 = (n+1)(2n2 +7n + 6)/6

où nous avons d’abord mis au même dénominateur, puis développé l’expression polynomiale dans la grande parenthèse pour l’écrire sous forme réduite. Pour continuer nous devons factoriser cette expression. Comme nous savons ce que nous voulons prouver c’est plus facile! En effet nous remarquons que (n+2)(2n+3) = 2n2 +7n + 6. Ainsi, le nombre de cubes de pierre qu’il faut est égal à

(n+1)(n+2)(2n+3)/6 = f(n+1).

Nous avons donc utilisé l’hypothèse de récurrence (le nombre de cubes qu’il faut pour une pyramide de n étages) pour montrer que la formule est aussi valide pour une pyramide de n+1 étages. La formule est par conséquent toujours vraie!

Exercice 8-9-10-11. Ce sont des problèmes de test, faites-les soigneusement, rédigez-les comme pour un test, mais vérifiez aussi vos solutions en relisant le cours, en en parlant entre vous, etc.