Les nombres, cours 1

Chapitre 2 pour le 25 août

On commence avec un devoir de lecture: la page 14 du fascicule, première page du Chapitre 2. Regardez attentivement les propriétés et leurs noms, remarquez l’analogie avec ce que nous avons vu pour les ensembles. Le premier film dure 9 minutes et concerne la première section. Il vous aidera à remplir les pages 14 et 15 du fascicule distribué aujourd’hui en classe.

La soustraction

Le deuxième film concerne la soustraction, quand c’est possible! Il dure 8 minutes et vous permettra de compléter les pages 15 et 16.

La division

Ce film est un peu plus long, 12 minutes. Il concerne la division dans N et vous compléterez les pages 17 et 18 en le regardant.

Semi-anneau commutatif

Un film de 3 minutes pour introduire la notion de semi-anneau. Je commente simplement la définition qui apparaît dans la Remarque 2.11.

Multiples communs

Cette vidéo dure 14 minutes et concerne les pages 19-21 sur le plus petit multiple commun. Mon but est de vous donner les notions nécessaires à pouvoir suivre une démonstration importante de ce troisième cours. En haut de la page 20 vous devrez copier le diagramme de Venn avec les multiples de 3 et de 5 que vous rencontrerez dès la minute 3 du film. Le petit film suivant permettra d’écrire ce qui vient au bas de la page 20. La démonstration à écrire sur la page 21 commence à la minute 9′. Recopiez-la pour que nous puissions en classe répondre aux questions, expliquer l’idée de la preuve, sans devoir écrire la preuve dans son intégralité!

Exemples de ppmc

Un petit film (2 minutes!) comme promis avec les exemples du bas de la page 20.

Diviseurs

Après les multiples, on étudie les diviseurs. Cette vidéo de 6 minutes permettra de compléter la page 22 du fascicule.

Théorème fondamental de l’arithmétique

On présente ici, en 9 minutes, les résultats de la page 24 et on complète le haut de la page 25.

Théorème d’Euclide

Pour terminer, voici un film de 6 minutes sur le Théorème d’Euclide. Ecrivez la preuve dans vos fascicules à la page 25 pour le début et la page 26 pour la suite si nécessaire. Nous ne referons pas la preuve ensemble, mais vous pouvez poser des questions!

Serie4 du 16 septembre 2020

En général. N’oubliez pas de décomposer les grands nombres en produits de puissances de nombres premiers pour vous aider à trouver les pgdc, ppmc, etc.

Exercice 2. Justifie brièvement ta réponse lorsque la réponse est “vrai”. Par exemple lorsqu’on demande si l’affirmation “m|n ou m|p” implique “m|np“, il suffit de se référer à la définition de la divisibilité. Comme il y a un “ou” il y a deux cas à distinguer. Supposons que m|n, l’autre cas est similaire. Alors il existe un entier k tel que n=mk. Ainsi np = mkp est aussi un multiple de m, i.e. m|np.

Exercice 4. Pour trouver tous les diviseurs communs de deux nombres donnés “à l’aide du pgdc”, comme indiqué, il faut retrouver dans le cours un résultat important. Celui-ci nous dit que tous les diviseurs communs de m et n sont les diviseurs du pgdc. Conclusion: on commence par calculer le pgdc (par exemple en utilisant le Théorème fondamental de l’arithmétique), puis on établit la liste de ses diviseurs.

Exercice 9, (2). Encore une application de ce théorème! Pour démontrer la relation observée, il faudra écrire le nombre acomme produit (p1)r1• (p2)r2 • … • (pk)rk. De même b = (p1)s1• (p2)s2 • … • (pk)sket les pisont des nombres premiers et les exposants risont des entiers naturels plus grands ou égaux à zéro. Pour se simplifier la vie on se permet des puissances nulles pour pouvoir faire apparaître les mêmes nombres premiers dans la décomposition de aet de b! Cette astuce devrait vous aider à rédiger une démonstration courte.

 

MiniSerie3 du 9 septembre 2020

Il existe .. pour tout/ Pour tout … il existe. Lorsqu’on pose une question comme la suivante, il faut bien analyser la phrase du point de vue mathématique:

Il existe un entier naturel m tel que, pour tout entier naturel n, on a m>n.

On se demande donc, en français cette fois, s’il existe un entier qui est plus grand que tous les autres. C’est faux bien entendu. Comment peut-on le démontrer? Supposons par l’absurde que m existe. Comme il doit être plus grand que tout entier n, il doit être en particulier plus grand que m+1. Mais ceci est impossible car l’affirmation m>m+1 est fausse. L’hypothèse était donc absurde! L’entier m n’existe pas.

Exercice 3 (1). On demande de montrer que l’ensemble des parties d’un ensemble X forme un semi-anneau commutatif. J’ai remarqué pendant la séance d’exercices que vous êtes probablement nombreux à ne pas être à l’aise avec cette définition. Et cela me donne aussi l’occasion d’insister sur le fait qu’il est extrêmement important de relire le cours pour faire les exercices! A mon avis voici comment il faudrait approcher un problème pour lequel vous n’avez pas beaucoup d’intuition, un exercice qui pose problème.

1. Lire attentivement la donnée. Ici il faut identifier précisément le problème: c’est la notion de semi-anneau commutatif.

2. Chercher dans le cours des éléments qui se rapportent à la difficulté identifiée. Ici on trouvera la définition de semi-anneau commutatif au bas de la page 18-haut de la page 19. La lecture de cette définition est importante!

3. Appliquer les éléments du cours dans la situation particulière. Ici la définition de semi-anneau commutatif commence ainsi: il s’agit d’un ensemble X qui est muni de deux opérations appelées * et o, alors que dans l’exercice je vous demande de vérifier que l’ensemble des parties P(X) forme un semi-anneau commutatif pour les opérations ∪ (union) et ∩ (intersection). Par conséquent il s’agit de remplacer dans la définition du cours chaque * par ∪ et chaque o par ∩!

4. Faire l’exercice une fois que les éléments se sont mis en place! Commençons (et je vous laisse terminer ensuite). Le premier point de la définition dit que * est associatif et aussi o est associatif. Dans notre cas cela signifie que ∪ et ∩ sont associatifs. Plus précisément il faut montrer que

A ∪ (B∪C) = (A∪B)∪C pour tous sous-ensembles A,B, C de X, et aussi que

A ∩ (B∩C) = (A∩B)∩C pour tous sous-ensembles A,B, C de X.

Comment vérifie-t-on cela? Dans la donnée de l’exercice je vous demande de ne pas démontrer ces propriétés mais de trouver dans le cours où nous avons déjà vu ces propriétés. C’est donc à nouveau un exercice de relecture du cours! Je trouve les propositions importantes aux pages 10 et 11. Ce que j’attends de vous est donc simplement une justification du type suivant:

(1) Associativité. Par la Proposition 2.3 (2) A ∪ (B∪C) = (A∪B)∪C pour tous sous-ensembles A,B, C de X.

Par la Proposition 2.6 (2) A ∩ (B∩C) = (A∩B)∩C pour tous sous-ensembles A,B, C de X.

Et voilà, on peut passer au point (2), la commutativité…

Retour sur l’ensemble des parties. C’est sûrement le point le plus dur de ce début d’année, mais, si tu as compris la définition de P(X), alors celle de P(P(X)) ne devrait pas te poser de problèmes puisqu’il s’agit simplement de l’ensemble des parties d’un ensemble que tu connais, à savoir P(X).

Principe: Si X est un ensemble dont les éléments sont a, b, c, etc., alors les éléments de P(X) sont des parties de X, autrement dit des sous-ensembles contenant certains éléments de X. On les écrit donc avec des accolades, par exemple {a} pour une partie de X qui n’est constituée que d’un élément, {a, c} pour une partie de X faite de deux éléments, etc.

Passage au niveau supérieur: On remplace X par P(X) et on cherche à comprendre P(P(X)), l’ensemble des parties de l’ensemble des parties de X. Les éléments de P(P(X)) sont donc des ensembles qui contiennent des sous-ensembles de X.
Nous sommes donc obligés d’utiliser deux niveaux d’accolades.

Supposons par exemple que X est l’ensemble {Terre, Lune}. Alors P(X) est l’ensemble des sous-ensembles de X, c’est-à-dire l’ensemble contenant l’ensemble vide ∅, les ensembles {Terre}, {Lune} qui ne contiennent qu’un élément, et enfin {Terre, Lune}. Ainsi

P(X) = {∅,  {Terre}, {Lune} , X} est constitué de quatre sous-ensembles.

Passage au niveau supérieur: les éléments de P(P(X)) sont par définition tous les sous-ensembles de P(X) = {∅,  {Terre}, {Lune} , X}. Classons-les systématiquement, pour être sûrs de ne pas en oublier, en fonction du nombre d’éléments qu’ils contiennent. Attention! L’ensemble vide ne contient aucun élément, mais l’ensemble qui ne contient que l’ensemble ∅ de P(X) contient bien un élément. Il faut ici rester systématique et ne pas s’emmêler les pinceaux à cause de la langue française qui nous joue des tours. L’élément ∅ est un élément parmi d’autres de P(X) si bien que {∅} est une partie de P(X) qui contient un unique élément. Allons-y:

zéro: ∅

un: {∅}, {{Terre}}, {{Lune}}, {X}

deux: {∅, {Terre}}, {∅, {{Lune}}, {∅, X}, {{Terre},{Lune}}, {{Terre}, X}, {{Lune}, X}

trois: {∅, {Terre}, {Lune}},  {∅, {Terre}, X}, {∅, {Lune}, X}, {{Terre}, {Lune}, X}

quatre: P(X)

Et voilà. Pour être sûr de n’oublier aucune partie, j’ai pris les éléments dans l’ordre. Par exemple ceux de trois éléments sont les ensembles qui ne contiennent pas X, puis pas {Lune}, puis pas {Terre}, et enfin pas ∅.

Une idée: Pour ne pas se laisser décontenancer par les accolades donnons un autre nom aux éléments de P(X). Au lieu de les écrire ∅, {Terre}, etc, je remplace ∅ par x, {Terre} par y, {Lune} par z et X={Terre, Lune} par t. Avec cette nouvelle notation P(X) = {x, y, z, t}. Par conséquent P(P(X)) est constitué de l’ensemble vide ∅, de {x}, {y}, etc. On écrit les 16 éléments de P(P(X)) avec cette notation et on retourne à la notation originale à la fin. Par exemple la partie {y, z, t} correspond à {{Terre}, {Lune}, X}.