Algèbre Linéaire Avancée II

Math-115(a)

Enseignant: Prof. Friedrich Eisenbrand
Assistant principal: Christoph Hunkenschröder

Autres assistants: Matthias Schymura, Charles Barbizet, Jeanne Fernandez, Jules Maire, Katie Jooyoung Kim, Matthieu Haeberle

Objectifs

L’objectif du cours est d’introduire les notions de base de l’algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet.

Contenu

  • Valeurs propres et vecteurs propres : polynome caracteristique, matrices semblables, diagonalisation, théorème de Cayley-Hamilton
  • Produits scalaires: bases orthogonales, méthode de Gram-Schmidt, matrices orthogonales, la méthode des moindres carrés, théorème spectral, décomposition en valeurs singulières
  • Formes: formes linéaires, espace dual, formes bilinéaires, formes sesquilinéaires, matrices symétriques et hermitiennes
  • Théorème de Sylvester 
  • Systèmes d’équations différencielles linéaires, formes de Jordan
  • Algèbre linéaire sur les entiers: Formes normales de Hermite et Smith, solution des systhèmes linéaires sur les entiers, groupes abéliens de type fini

Horaire et Organization

Cours (ex-cathedra) donné par le prof. Friedrich Eisenbrand.

Mardi 13h15 – 15h00 CE 2
Mercredi 14h15 – 16h00 CM 4

Séances d’exercises et répartition des salles par nom:

Mardi 15h15 – 16h00 MA A1 10 A – E
CM 11 00 F – M
CM 12 21 N – Z
Vendredi 13h15 – 15h00 CE 11 01 (3.5. et 10.5.: CM 012) A – E
CE 11 03 F – M
CE 11 04 N – Z

Office hours (pendant le semestre):

Christoph Hunkenschröder MA C1 573 / MA B1 524 Mardi, 16h15 – 17h00
Matthias Schymura MA C1 563 Vendredi, 11h15 – 12h00

Exercices

Séance d’exercices:
Pendant la séance d’exercices, essayez de faire les exercices par vous-mêmes. Vous n’allez probablement pas terminer tous les exercices pendant cette séance-là. Il est fortement recommandé de les finir en dehors des sessions de jeudi. Les assistants seront présents dans les salles afin de vous aider. Profitez-en pour poser vos questions!

Les corrigés seront disponibles sur la page du cours et ne seront pas distribués en classe.

Série 01     Solution

Série 02     Solution

Série 03     Solution

Série 04     Solution

Série 05     Solution

Série 06     Solution

Série 07     Solution

Série 08     Solution

Série 09: L’examen blanc

Série 10     Solution

Série 11     Solution

Série 12     Solution

Serie 13     Solution

Serie 14     Solution

 

Exercices à rendre:
Chaque semaine, il y a un exercice à rendre. Cela vous permet d’évaluer votre maîtrise du raisonnement mathématique. Il n’y aura pas de solution pour cet exercice.

La feuille d’exercice à rendre sera distribuée pendant la séance d’exercices le mardi. Vous avez ensuite une semaine pour résoudre cet exercice et vous devez le rendre pendant la séance de la semaine suivante. On va ensuite discuter de vos solutions.

Comme la séance d’exercices du mardi n’aura pas lieu les premières deux semaines, les exercices seront exceptionnellement distribuées et à rendre pendant le cours pendant ces deux semaines.

Homework 01

Homework 02

Homework 03

Homework 04

Homework 05

Homework 06

Homework 07

Homework 08

Homework 09: L’examen blanc

Homework 10

Homework 11

Homework 12

 

Exercice de programmation:

Under this link, you can find a python notebook that stores an image via its singular value decomposition. You can already see some exemplary reconstructions of the original image, but to get the full flavour, please create an account at cocalc.com and upload the following notebook file. (You can, of course, also install Python on your computer). You can try different reconstruction qualities and compare how much (less) space you need. You might also want to try different pictures to see whether the number of singular values needed for a good result decreases for “simpler” pictures.

Singular Value Decomposition

For the Hermite Normal Form, there is a python-notebook file. You can use it to compute the Hermite Normal Form of a given matrix, it might be useful for Sheet 11, Exercise 7.

Hermite Normal Form

Notes

Les notes du cours sont accessibles aux étudiants dans le repository GIT. Toutes les informations nécéssaires pour produire un fichier .pdf à partir d’un fichier .tex sont données dans le fichier README du repository GIT ainsi que sur le site web ci-dessous. Information Latex: vous trouverez ci-dessous la page web du cours TP de mathématiques donné par le Prof. Abdulle de 2009 à 2014. Ce site web vous donne des informations relatives à la rédaction et à la présentation orale de rapports scientifiques.

Forum

Class link :     piazza.com/epfl.ch/spring2019/math115a/home

Signup link :     piazza.com/epfl.ch/spring2019/math115a

Examen

The exam will take place on Thursday, June 27th, from 12:15 to 15:15 in room CE 1 515 (Salle Polyvalente). Please be at the room 20 minutes before the exam starts, so that we can seat you beforehand and you do not lose time.

Bibliographie

Il existe de nombreux livres d’algèbre linéaire. Le cours ne suit aucun de ces ouvrages de manière systématique, mais bien des matières du cours se trouvent dans ces livres. Voici un choix :

  • S. Lang, Linear algebra, 3rd edition, Springer, 1987.
  • R. Cairoli, Algèbre linéaire, Presses Polytechiniques Universitaires Romandes, 1999.
  • R. Bellman, Introduction to matrix analysis, second edition, SIAM Classics in Applied Mathematics, 1997.
  • K. Houston, Comment penser comme un mathématicien, De Boeck, 2011.
  • M. Artin, Algebra, Pearson, 2nd edition, 2010.

De nombreux exercices corrigés se trouvent dans les ouvrages :

  • R. Dalang, A. Chabouni, Algèbre linéaire, Presses Polytechniques Universitaires Romandes, 2e édition, 2004.
  • D. C. Lay, Algèbre linéaire : théorie, exercices et applications, Pearson, 4e édition, 2012.