Théorie des nœuds

Cours de 1re année – Hiver 2004/05

Prof. Kathryn Hess Bellwald

Assistant: Peter Bubenik


Contenu

En théorie des nœuds on cherche à classifier des nœuds—plongements du cercle dans R3—à isotopie  (déformation continue de tout l’espace) près, par moyen des invariants de nœud. Ce domaine de recherche est actif depuis presque 150 ans. Depuis 20 ans et la découverte du polynôme de Jones, la théorie des nœuds connaît une expansion spectaculaire, grâce au développement de nombreux invariants puissants et à la découverte d’applications importantes en physique mathématique, biologie (ADN) et chimie (polymères). 

Le but de ce cours est de présenter quelques invariants de nœud importants, aussi bien classiques que des plus modernes, en veillant à illustrer les avantages et les inconvenients de tous et à en montrer quelques applications.

Horaire

Cours: les lundis de 13h15 à 14h et jeudis de 11h15 à 13h

Exercices: les jeudis de 12h à 14h 

Salles: MA/30 (cours) et BCH 5101 (exos)

Programme

  1. Eléments de la théorie des nœuds
  2. Les écheveaux
  3. L’algorithme de Kauffman et le polynôme de Jones
  4. La théorie des tresses
  5. Les algèbres de Hecke
  6. L’existence du polynôme HOMFLY

Bibliographie

  • C. Adams,  Why Not? An Introduction to the Mathematical Theory of Knots, Key Curriculum Press, 2004.
  • N. D. Gilbert et T. Porter,  Knot and Surfaces, Oxford Science Publications, 1994.
  • W. B. R. Lickorish,  An Introduction to Knot Theory, Graduate Texts in Mathematics 175, 1997.
  • V. Manturov,  Knot Theory, Chapman & Hall/CRC, 2004.

Ce cours sera basé essentiellement sur le chapitres 1-7 et 12 du livre de Manturov. Le livre d’Adams, qui est en fait une BD (!), est fortment recommandé pour son approche ludique.

Liens

Je vous conseille fortement de regarder ces sites, qui sont très chouettes! Dites-moi s’il vous plaît si vous trouvez d’autres sites intéressants, que je devrais mentionner ici.

D'autres fichiers à télécharger

Vous trouverez ici, entre autre, des chapitres choisis d’un polycopié écrit pour un autre cours de théorie des nœuds que j’ai donné dans les années 1990.

Pour les chapitres 4 et 5 du cours, j’utiliserai les notions de groupe libre et de présentation de groupe.  Voici des notes lesquelles peuvent servir de référence pour ces notions.