Algèbre linéaire I et II

Cours de 1re année – Année académique 2008/09

Prof. Kathryn Hess Bellwald

Assistante principale: Madeleine Jotz

Assistants: Ilias Amrani, Jaroslaw Byrka, Patrick Müller, Laura Sanita

Assistants-étudiants: Thibaut Dumont, Lev Kiwi, Sylvain Rouge, Jean-Paul Wenger


Contenu

L’algèbre linéaire consiste en l’étude d’espaces vectoriels et d’applications linéaires entre espaces vectoriels.  Un espace vectoriel est un ensemble doté d’une opération d’“addition” et d’une opération de “multiplication par scalaires”, lesquelles vérifient une certaine liste d’axiomes.  Ces axiomes gouvernent aussi bien les propriétés de chaque opération, que la compatabilité entre les deux opérations. Une application f d’un espace vectoriel V vers un espace vectoriel W est dite linéaire si elle respecte l’essentiel de cette structure.  Les applications linéaires servent à relier et à comparer les espaces vectoriels entre eux.

La notion d’espace vectoriel englobe des objets familiers aussi bien algébriques que géométriques :  l’ensemble de polynômes à coefficients réels et l’ensemble Rn des n-tuples de nombres réels admettent tous les deux des structures d’espace vectoriel.  L’algèbre linéaire nous permet ainsi de traduire dans un contexte purement algébrique des notions et façons de penser qui proviennent de la géométrie.

D’un point de vue computationnel, l’algèbre linéaire nous fournit des outils pour étudier les systèmes d’équations linéaires, que l’on peut décrire en termes de matrices.  Or une matrice à m lignes et n colonnes n’est qu’une façon de représenter une application linéaire de Rn vers Rm! Cette observation nous ouvre la porte à l’application des méthodes de l’algèbre linéaire à l’étude des solutions possibles de systèmes d’équations linéaires.

Dans ce cours nous prendrons une approche surtout axiomatique à l’algèbre linéaire, sans pour autant négliger les applications computationnelles de la théorie. 

Horaire

  • Cours: les lundis de 13h15 à 14h et les jeudis de 11h15 à 13h
  • Exercices: les lundis de 14h15 à 16h
  • Salles: CE/6 (cours); CO/10, CO/11, CO/122, CO/123, CO/124 (exos)
  • Réponses aux questions: le jeudis de 15h15 à 16h dans la CM/10

RAQ avant le propé: le jeudi 11 juin de 8h15 à 12h dans la salle MA30

Programme

  1. Ensembles et applications 
    • Eléments de la théorie des ensembles
  2. Espaces vectoriels de dimension finie 
    • Corps, définition et propriétés d’espaces vectoriels, sous-espaces, sommes et sommes directes, indépendance linéaire, listes génératrices, bases, dimension
  3. Applications linéaires 
    • Définition et exemples, noyau et image, isomorphismes, matrices associées aux applications linéaires
  4. Matrices et systèmes d’équations linéaires 
    • Algorithme de Gauss-Jordan, inversion de matrices, un premier aperçu du déterminant
  5. Produits scalaires 
    • Produits scalaires, normes, bases orthonormales, projections orthogonales et meilleures approximations
  6. Valeurs propres et vecteurs propres 
    • Sous-espaces invariants, polynômes et opérateurs, matrices triangulaires, matrices diagonales
  7. Opérateurs sur espaces avec produit scalaire 
    • Fonctionnels linéaires et adjoints, opérateurs auto-adjoints et normaux, le théorème spectral, isométries
  8. Opérateurs sur espaces vectoriels complexes 
    • Valeurs propres généralisées, le polynôme caractéristique, la décomposition d’un opérateur, le polynôme minimal, la forme de Jordan
  9. La trace et le déterminant d’un opérateur complexe 
    • Changements de base, la trace, le déterminant d’un opérateur, le déterminant d’une matrice

Bibliographie

 

  • S. Axler, Linear Algebra Done Right (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1997.
  • K. Hoffman et R. Kunze, Linear Algebra (Second Edition), Prentice Hall, 1971.
  • K. Jänich, Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1994.
  • S. Lang, Introduction to Linear Algebra (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1986.
  • R. Valenza, Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993.

Ce cours sera basé principalement sur le livre d’Axler.

 

 

Dernière mise à jour: 26.05.09