Enseignant: Prof. Friedrich Eisenbrand
Assistant principal: Martina Gallato
Autres assistants: Jonas Racine, Jana Cslovjecsek, Lilian Bonnet, Léon Burkhardt, Maite Carli, Matthieu Haeberle, Christian N’Guessan, Mechti Majda, Arthur Renard
Objectifs
L’objectif du cours est d’introduire les notions de base de l’algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet.
Contenu
Valeurs propres et vecteurs propres : polynome caracteristique, matrices semblables, diagonalisation, théorème de Cayley-Hamilton.
Produits scalaires: bases orthogonales, méthode de Gram-Schmidt, matrices orthogonales, la méthode des moindres carrés, théorème spectral, décomposition en valeurs singulières.
Formes: formes linéaires, espace dual, formes bilinéaires, formes sesquilinéaires, matrices symétriques et hermitiennes.
Théorème de Sylvester.
Systèmes d’équations différencielles linéaires, formes de Jordan.
Algèbre linéaire sur les entiers: Formes normales de Hermite et Smith, solution des systhèmes linéaires sur les entiers, groupes abéliens de type fini.
Organisation
Le cours et les séances d’exercices se dérouleront sur zoom. Des liens vers le cours et les séances d’exercices seront affichés sur piazza.
Chaque semaine, il y aura une série d’exercices qui sera discutée le vendredi après-midi et un exercice “star” qui sera présenté lors des sessions du mardi. La session du mardi sera également consacrée à répondre à vos questions sur le cours.
Pendant le semestre, il y aura 3 mini-examens que vous devrez passer en mode “take-home exam” (sans aide extérieure et en travaillant individuellement). La note obtenue lors de ces examens vaudra 30 % de la note finale.
Bibliographie
Il existe de nombreux livres d’algèbre linéaire. Le cours ne suit aucun de ces ouvrages de manière systématique, mais bien des matières du cours se trouvent dans ces livres.
Voici un choix :
S. Lang, Linear algebra, 3rd edition, Springer, 1987.
R. Cairoli, Algèbre linéaire, Presses Polytechiniques Universitaires Romandes, 1999.
R. Bellman, Introduction to matrix analysis, second edition, SIAM Classics in Applied Mathematics, 1997.
K. Houston, Comment penser comme un mathématicien, De Boeck, 2011.
M. Artin, Algebra, Pearson, 2nd edition, 2010.
De nombreux exercises corrigés se trouvent dans les ouvrages:
R. Dalang, A. Chabouni, Algèbre linéaire, Presses Polytechniques Universitaires Romandes, 2e édition, 2004.
D. C. Lay, Algèbre linéaire : théorie, exercices et applications, Pearson, 4e édition, 2012.