Algèbre linéaire I et II

Cours de 1re année – Année académique 2005/2006

Prof. Kathryn Hess Bellwald

Assistant principal: Jonathan Scott

Assistants: Ilias Amrani, Jan Brunner, Ana Devic, Ratiba Djelid, Mélanie Favre, Sébastien Guex, Gaël Haab, David Kohler

Contenu

«L’algèbre n’est qu’une géométrie écrite;
la géométrie n’est qu’une algèbre figurée.»
Sophie Germain 

 

L’algèbre linéaire consiste en l’étude d’espaces vectoriels et d’applications linéairesentre espaces vectoriels.  Un espace vectoriel est un ensemble doté d’une opération d’ “addition” et d’une opération de “multiplication par scalaires”, lesquelles vérifient une certaine liste d’axiomes.  Ces axiomes gouvernent aussi bien les propriétés de chaque opération, que la compatabilité entre les deux opérations. Une application fd’un espace vectoriel V vers un espace vectoriel W est dite linéaire si elle respecte l’essentiel de cette structure.  Les applications linéaires servent à relier et à comparer les espaces vectoriels entre eux.

La notion d’espace vectoriel englobe des objets familiers aussi bien algébriques que géométriques :  l’ensemble de polynômes à coefficients réels et l’ensemble Rn des n-tuples de nombres réels admettent tous les deux des structures d’espace vectoriel.  L’algèbre linéaire nous permet ainsi de traduire dans un contexte purement algébrique des notions et façons de penser qui proviennent de la géométrie.

D’un point de vue computationnel, l’algèbre linéaire nous fournit des outils pour étudier les systèmes d’équations linéaires, que l’on peut décrire en termes de matrices.  Or une matrice à m lignes et n colonnes n’est qu’une façon de représenter une application linéaire de Rn vers Rm ! Cette observation nous ouvre la porte à l’application des méthodes de l’algèbre linéaire à l’étude des solutions possibles de systèmes d’équations linéaires.

Dans ce cours nous prendrons une approche surtout axiomatique à l’algèbre linéaire, sans pour autant négliger les applications computationnelles de la théorie.

Horaire

Cours: les lundis de 13h15 à 14h et jeudis de 11h15 à 13h

Exercices: les lundis de 14h15 à 16h

Réponses aux questions: les mercredis de 13h à 14h

Salles: CO 1 (cours lundi) et CE 6 (cours jeudi), CM 011(réponses aux questions)

Programme

  1. Ensembles et applications 
    • Eléments de la théorie des ensembles, relations d’équivalence
  2. Espaces vectoriels de dimension finie
    • Corps, définition et propriétés d’espaces vectoriels, sousespaces, sommes et sommes directes, indépendance linéaire, listes génératrices, bases, dimension
  3. Applications linéaires
    • Définition et exemples, noyau et image, applications inversibles
  4. Polynômes 
    • Notion de degré, polynômes à coefficients complexes, polynômes à coefficients réels
  5. Valeurs propres et vecteurs propres
    • Sousespaces invariants, polynômes et opérateurs, matrices triangulaires, matrices diagonales.
  6. Produits scalaires
    • Produits scalaires, normes, bases orthonormales, projection orthogonales et minimisation, fonctionnels linéaires et adjoints
  7. Opérateurs sur espaces avec produit scalaire
    • Opérateurs auto-adjoints et normaux, le théorème spectral, isométries
  8. Opérateurs sur espaces vectoriels complexes
    • Valeurs propres généralisées, le polynôme caractéristique, la décomposition d’un opérateur, le polynôme minimal, la forme de Jordan
  9. Opérateurs sur espaces vectoriels réels
    • Valeurs propres de matrices carrées, matrices triangulaires par blocs, le polynôme caractéristique
  10. La trace et le déterminant
    • Changements de base, la trace, le déterminant d’un opérateur, le déterminant d’une matrice, volume
       

Bibliographie

 

  • S. Axler, Linear Algebra Done Right (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1997.
  • K. Hoffman et R. Kunze, Linear Algebra (Second Edition), Prentice Hall, 1971.
  • K. Jänich, Linear Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1994.
  • S. Lang, Introduction to Linear Algebra (Second Edition), Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1986.
  • R. Valenza, Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993.

Ce cours sera basé principalement sur le livre d’Axler.